[1] 三角形ABCにおいて、$\angle BAC = 60^\circ$であり、外接円Kの半径が4である。 (1) 辺BCの長さを求める。 (2) 円Kの弧BC（Aを含まない方）上に点Dを取り、$\angle CBD = \theta$とする。$\theta$は$2\sin^2\theta - 1 = 0$を満たす。 (i) $\theta$の値を求める。 (ii) 線分CDの長さと、線分BDの長さを求める。 [2] 1が書かれたカード3枚、2が書かれたカード3枚、3が書かれたカード3枚、計9枚のカードが入った袋から同時に3枚取り出す。取り出したカードに書かれた3つの数の積をX、和をYとする。 (1) X=1となる確率と、X=3となる確率を求める。 (2) Xが3の倍数となる確率を求める。 (3) XYが3の倍数となる確率を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

[1]

三角形ABCにおいて、$\angle BAC = 60^\circ$であり、外接円Kの半径が4である。

(1) 辺BCの長さを求める。

(2) 円Kの弧BC（Aを含まない方）上に点Dを取り、$\angle CBD = \theta$とする。$\theta$は$2\sin^2\theta - 1 = 0$を満たす。

(i) $\theta$の値を求める。

(ii) 線分CDの長さと、線分BDの長さを求める。

[2]

1が書かれたカード3枚、2が書かれたカード3枚、3が書かれたカード3枚、計9枚のカードが入った袋から同時に3枚取り出す。取り出したカードに書かれた3つの数の積をX、和をYとする。

(1) X=1となる確率と、X=3となる確率を求める。

(2) Xが3の倍数となる確率を求める。

(3) XYが3の倍数となる確率を求める。

2. 解き方の手順

[1]

(1) 正弦定理より、$\frac{BC}{\sin A} = 2R$。ここで、$R=4$、$\angle A = 60^\circ$であるから、

$BC = 2R \sin A = 2 \times 4 \times \sin 60^\circ = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$。

(2)

(i) $2\sin^2\theta - 1 = 0$より、$\sin^2\theta = \frac{1}{2}$。よって、$\sin\theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。$\theta$は角度なので、$\sin \theta > 0$である。したがって、$\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$。よって、$\theta = 45^\circ$。

(ii) 円周角の定理より、$\angle CAD = \angle CBD = \theta = 45^\circ$。また、$\angle BAC = 60^\circ$なので、$\angle BAD = \angle BAC - \angle CAD = 60^\circ - 45^\circ = 15^\circ$。

円周角の定理より、$\angle BCD = \angle BAD = 15^\circ$。$\angle CBD = 45^\circ$なので、$\triangle BCD$において、$\angle BDC = 180^\circ - 15^\circ - 45^\circ = 120^\circ$。

$\triangle BCD$において、正弦定理より、$\frac{CD}{\sin \angle CBD} = \frac{BD}{\sin \angle BCD} = 2R = 8$。

したがって、$CD = 8 \sin 45^\circ = 8 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$、

$BD = 8 \sin 15^\circ = 8 \sin (45^\circ - 30^\circ) = 8 (\sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ) = 8 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} \right) = 8 \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = 2(\sqrt{6} - \sqrt{2})$。

[2]

(1) X=1となるのは、3枚とも1のカードを取り出すときのみ。確率は、$\frac{{}_3C_3}{{}_9C_3} = \frac{1}{\frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1}} = \frac{1}{84}$。

X=3となるのは、(1,1,3)を取り出すときのみ。確率は、$\frac{{}_3C_2 \times {}_3C_1}{{}_9C_3} = \frac{3 \times 3}{84} = \frac{9}{84} = \frac{3}{28}$。

(2) Xが3の倍数となるのは、少なくとも1枚3のカードを含むとき、または3枚とも1か2のカードの組み合わせで積が3の倍数になる時である。

Xが3の倍数にならないのは、3枚とも1か2のカードを取り出す時。その確率は、$\frac{{}_6C_3}{{}_9C_3} = \frac{\frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1}}{84} = \frac{20}{84} = \frac{5}{21}$。

したがって、Xが3の倍数となる確率は、$1 - \frac{5}{21} = \frac{16}{21}$。

(3) XYが3の倍数となるのは、Xが3の倍数となるか、Yが3の倍数となるときである。Xが3の倍数となる確率は(2)より$\frac{16}{21}$。Xが3の倍数でないとき、Yが3の倍数となる確率を考える。Xが3の倍数でないのは3枚とも1か2のカードを取り出す時。取り出したカードの組み合わせは(1,1,1)、(1,1,2)、(1,2,2)、(2,2,2)のいずれかである。

(1,1,1)のときY=3。確率は$\frac{{}_3C_3}{{}_9C_3}=\frac{1}{84}$

(1,1,2)のときY=4。確率は$\frac{{}_3C_2{}_3C_1}{{}_9C_3}=\frac{9}{84}$

(1,2,2)のときY=5。確率は$\frac{{}_3C_1{}_3C_2}{{}_9C_3}=\frac{9}{84}$

(2,2,2)のときY=6。確率は$\frac{{}_3C_3}{{}_9C_3}=\frac{1}{84}$

Xが3の倍数でない確率$\frac{5}{21}=\frac{20}{84}$。

Xが3の倍数でなくYが3の倍数の確率は、(1,1,1)と(2,2,2)の組み合わせであり、$(\frac{1}{84}+\frac{1}{84})$となるので、$\frac{2}{84}$。

XYが3の倍数となる確率$=1-$（XもYも3の倍数でない確率）

$=1-\frac{9+9}{84}=1-\frac{18}{84}=1-\frac{3}{14}=\frac{11}{14}$

3. 最終的な答え

[1]

(1) $BC = 4\sqrt{3}$

(2)

(i) $\theta = 45^\circ$

(ii) $CD = 4\sqrt{2}$, $BD = 2\sqrt{6} - 2\sqrt{2}$

[2]

(1) $P(X=1) = \frac{1}{84}$, $P(X=3) = \frac{3}{28}$

(2) $P(Xが3の倍数) = \frac{16}{21}$

(3) $P(XYが3の倍数) = \frac{11}{14}$