ベクトル $A = i + 4j + 2k$, $B = 2i - j + 2k$, $C = i + 2j + 3k$ が与えられたとき、以下の問いに答えます。 a) ベクトル $B$ の単位ベクトル $e$ を求めます。 b) $2(A+B) \cdot (A-C)$ を計算します。 c) 力 $A$ が質点に作用し、点 $P(1, 2, 3)$ から点 $Q(2, 3, 5)$ まで直線的に変位するときの、力 $A$ のする仕事量 $W$ を求めます。 d) $|2B \times (A - 2C)|$ を計算します。

1. 問題の内容

ベクトル $A = i + 4j + 2k$, $B = 2i - j + 2k$, $C = i + 2j + 3k$ が与えられたとき、以下の問いに答えます。

a) ベクトル $B$ の単位ベクトル $e$ を求めます。

b) $2(A+B) \cdot (A-C)$ を計算します。

c) 力 $A$ が質点に作用し、点 $P(1, 2, 3)$ から点 $Q(2, 3, 5)$ まで直線的に変位するときの、力 $A$ のする仕事量 $W$ を求めます。

d) $|2B \times (A - 2C)|$ を計算します。

2. 解き方の手順

a) ベクトル $B$ の単位ベクトル $e$ を求める。

まず、$B$ の大きさ $|B|$ を計算します。

$|B| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$

単位ベクトル $e$ は $B$ をその大きさで割ったものなので、$e = \frac{B}{|B|} = \frac{2i - j + 2k}{3} = \frac{2}{3}i - \frac{1}{3}j + \frac{2}{3}k$

b) $2(A+B) \cdot (A-C)$ を計算する。

まず、$A+B$ と $A-C$ を計算します。

$A+B = (i + 4j + 2k) + (2i - j + 2k) = 3i + 3j + 4k$

$A-C = (i + 4j + 2k) - (i + 2j + 3k) = 0i + 2j - k = 2j - k$

次に、内積 $2(A+B) \cdot (A-C)$ を計算します。

$2(A+B) \cdot (A-C) = 2(3i + 3j + 4k) \cdot (2j - k) = 2(3(0) + 3(2) + 4(-1)) = 2(0 + 6 - 4) = 2(2) = 4$

c) 力 $A$ がする仕事量 $W$ を求める。

変位ベクトル $d$ は $d = Q - P = (2-1)i + (3-2)j + (5-3)k = i + j + 2k$

仕事量 $W$ は $W = A \cdot d = (i + 4j + 2k) \cdot (i + j + 2k) = 1(1) + 4(1) + 2(2) = 1 + 4 + 4 = 9$

d) $|2B \times (A - 2C)|$ を計算する。

まず、$A - 2C$ を計算します。

$A - 2C = (i + 4j + 2k) - 2(i + 2j + 3k) = (i + 4j + 2k) - (2i + 4j + 6k) = -i + 0j - 4k = -i - 4k$

次に、$2B$ を計算します。

$2B = 2(2i - j + 2k) = 4i - 2j + 4k$

次に、$2B \times (A - 2C)$ を計算します。

$2B \times (A - 2C) = (4i - 2j + 4k) \times (-i - 4k) = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 4 & -2 & 4 \\ -1 & 0 & -4 \end{vmatrix} = (8 - 0)i - (-16 + 4)j + (0 - 2)k = 8i + 12j - 2k$

最後に、$|2B \times (A - 2C)|$ を計算します。

$|2B \times (A - 2C)| = |8i + 12j - 2k| = \sqrt{8^2 + 12^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 144 + 4} = \sqrt{212} = 2\sqrt{53}$

3. 最終的な答え

a) $e = \frac{2}{3}i - \frac{1}{3}j + \frac{2}{3}k$

b) $4$

c) $9$

d) $2\sqrt{53}$