工場 A で作られた製品 P の重さに関する問題で、以下の内容を求める問題です。 - 100 個の標本の平均 $\overline{X}$ と分散 $\sigma^2$ を求める。 - 標本平均 $\overline{X}$ が従う正規分布のパラメータを求める。 - 母平均 $m$ に対する信頼度 95% および 98% の信頼区間を求める。 - 信頼度 98% の信頼区間の幅が、信頼度 95% の信頼区間の幅の何倍になるかを求める。

1. 問題の内容

工場 A で作られた製品 P の重さに関する問題で、以下の内容を求める問題です。

- 100 個の標本の平均 $\overline{X}$ と分散 $\sigma^2$ を求める。

- 標本平均 $\overline{X}$ が従う正規分布のパラメータを求める。

- 母平均 $m$ に対する信頼度 95% および 98% の信頼区間を求める。

- 信頼度 98% の信頼区間の幅が、信頼度 95% の信頼区間の幅の何倍になるかを求める。

2. 解き方の手順

(1)

平均 $\overline{X}$ は、各重さに個数をかけて足し合わせ、総度数で割ることで求められます。

$\overline{X} = \frac{45.0 \times 2 + 45.1 \times 21 + 45.2 \times 56 + 45.3 \times 18 + 45.4 \times 2 + 45.5 \times 1}{100} = \frac{4519}{100} = 45.19$

したがって、$\overline{X} = 45.19$ です。

分散 $\sigma^2$ は、各重さの二乗に個数をかけて足し合わせ、総度数で割ったものから、平均の二乗を引くことで求められます。

$\sigma^2 = \frac{45.0^2 \times 2 + 45.1^2 \times 21 + 45.2^2 \times 56 + 45.3^2 \times 18 + 45.4^2 \times 2 + 45.5^2 \times 1}{100} - 45.19^2$

$\sigma^2 = \frac{204210.74}{100} - 2042.1361 = 2042.1074 - 2042.1361 = -0.0287$

しかし、これは標本分散の不偏推定量ではないので、正しい計算は下記となります。

$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{X})^2}{n-1} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{X})^2}{99}$

標本分散 $s^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{X})^2}{n}$とすると、 $\sigma^2 = \frac{n}{n-1}s^2$となります。

計算し直すと、標本分散$s^2$ は

$s^2 = \frac{(45.0 - 45.19)^2 \times 2 + (45.1 - 45.19)^2 \times 21 + (45.2 - 45.19)^2 \times 56 + (45.3 - 45.19)^2 \times 18 + (45.4 - 45.19)^2 \times 2 + (45.5 - 45.19)^2 \times 1}{100}$

$s^2 = \frac{0.0722 + 0.176421 + 0.005656 + 0.037242 + 0.01322 + 0.108361}{100} = \frac{4.289}{100} = 0.04289$

$\sigma^2 = \frac{100}{99} \times 0.04289= 0.04332$

よって$\sigma^2 = 0.04332 \approx 0.043$

(2)

中心極限定理より、標本平均 $\overline{X}$ は近似的に正規分布 $N(m, \frac{\sigma^2}{n})$ に従います。ここで $n = 100$ なので、

$\overline{X} \sim N(m, \frac{0.043}{100}) = N(m, 0.00043)$

したがって、$\overline{X} \sim N(m, 0.021^2)$ とみなせます。

$Z = \frac{\overline{X} - m}{\sqrt{0.043/100}} = \frac{\overline{X} - m}{0.021}$ は標準正規分布 $N(0, 1)$ に従います。

(3)

$P(-k \le Z \le k) = 0.95$ を満たす $k$ は、標準正規分布表から $k = 1.96$ であることがわかります。

$\overline{X} = 45.19$ のとき、母平均 $m$ に対する信頼度 95% の信頼区間は、

$\overline{X} - 1.96 \times \frac{\sqrt{\sigma^2}}{\sqrt{n}} \le m \le \overline{X} + 1.96 \times \frac{\sqrt{\sigma^2}}{\sqrt{n}}$

$45.19 - 1.96 \times 0.021 \le m \le 45.19 + 1.96 \times 0.021$

$45.19 - 0.04116 \le m \le 45.19 + 0.04116$

$45.14884 \le m \le 45.23116$

小数第四位を四捨五入して、$45.15 \le m \le 45.23$

$P(-k' \le Z \le k') = 0.98$ を満たす $k'$ は、標準正規分布表から $k' = 2.33$ であることがわかります。

信頼度 98% の信頼区間の幅は $2 \times 2.33 \times \frac{\sqrt{\sigma^2}}{\sqrt{n}} = 2 \times 2.33 \times 0.021 \approx 0.09786$

信頼度 95% の信頼区間の幅は $2 \times 1.96 \times \frac{\sqrt{\sigma^2}}{\sqrt{n}} = 2 \times 1.96 \times 0.021 \approx 0.08232$

よって、信頼度 98% の信頼区間の幅は、信頼度 95% の信頼区間の幅のおよそ $\frac{0.09786}{0.08232} \approx 1.19$ 倍です。

3. 最終的な答え

- $\overline{X} = 45.19$

- $\sigma^2 \approx 0.043$

- 正規分布 $N(m, 0.00043)$

- $k = 1.96$

- $45.15 \le m \le 45.23$

- $k' = 2.33$

- およそ 1.19 倍