ある工場で製造された製品の重さに関する問題で、標本平均、分散、母平均の信頼区間などを求める問題です。

1. 問題の内容

ある工場で製造された製品の重さに関する問題で、標本平均、分散、母平均の信頼区間などを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 標本平均 $\bar{X}$ の計算

$\bar{X} = \frac{45.0 \times 2 + 45.1 \times 21 + 45.2 \times 56 + 45.3 \times 18 + 45.4 \times 2 + 45.5 \times 1}{100}$

$\bar{X} = \frac{90 + 947.1 + 2531.2 + 815.4 + 90.8 + 45.5}{100}$

$\bar{X} = \frac{4520}{100} = 45.2$

標本分散 $s^2$ の計算

$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{X})^2$

ここでは、不偏分散ではなく、単なる分散なので $n-1$ ではなく $n$ で割ります。

$\sigma^2 = \frac{1}{100} [2(45.0 - 45.2)^2 + 21(45.1 - 45.2)^2 + 56(45.2 - 45.2)^2 + 18(45.3 - 45.2)^2 + 2(45.4 - 45.2)^2 + 1(45.5 - 45.2)^2]$

$\sigma^2 = \frac{1}{100} [2(0.04) + 21(0.01) + 56(0) + 18(0.01) + 2(0.04) + 1(0.09)]$

$\sigma^2 = \frac{1}{100} [0.08 + 0.21 + 0 + 0.18 + 0.08 + 0.09] = \frac{0.64}{100} = 0.0064$

(2) 標本平均 $\bar{X}$ は正規分布 $N(m, \frac{\sigma^2}{n})$ に従う。

したがって、$N(m, \frac{0.0064}{100}) = N(m, 0.000064)$

$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} = \sqrt{0.000064} = 0.008$

$Z = \frac{\bar{X} - m}{0.008}$ は標準正規分布に従う。

(3) $P(-k \le Z \le k) = 0.95$ を満たす $k$ は $1.96$ （正規分布表より）。

$\bar{X} = 45.2$ のとき、母平均 $m$ に対する信頼度95%の信頼区間は、

$\bar{X} - k \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le m \le \bar{X} + k \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

$45.2 - 1.96 \times 0.008 \le m \le 45.2 + 1.96 \times 0.008$

$45.2 - 0.01568 \le m \le 45.2 + 0.01568$

$45.18432 \le m \le 45.21568$

小数第4位を四捨五入すると、

$45.184 \le m \le 45.216$

$P(-k' \le Z \le k') = 0.98$ を満たす $k'$ は $2.33$ （正規分布表より概算）。

信頼度98%の信頼区間の幅は、

$2 \times 2.33 \times 0.008 = 0.03728$

信頼度95%の信頼区間の幅は、

$2 \times 1.96 \times 0.008 = 0.03136$

$\frac{0.03728}{0.03136} \approx 1.19$

3. 最終的な答え

$\bar{X} = 45.2$

$\sigma^2 = 0.0064$

クケコ：0.008

サシス：1.96

セソタ：184

チッテ：216

トナニ：1.96 -> 2.33 に修正

ヌ：1.19