次の極限を計算します。 $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x-x^2} - \frac{1}{e^x - 1} \right)$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

次の極限を計算します。

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x-x^2} - \frac{1}{e^x - 1} \right)$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を通分します。

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x-x^2} - \frac{1}{e^x - 1} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - (x - x^2)}{(x-x^2)(e^x - 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x + x^2}{(x-x^2)(e^x - 1)}$

ここで、$e^x$ のテイラー展開を考えます。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$

これを代入すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)) - 1 - x + x^2}{(x-x^2)((1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)) - 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{2}x^2 + \frac{x^3}{6} + O(x^4)}{(x-x^2)(x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4))} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{2}x^2 + \frac{x^3}{6} + O(x^4)}{x^2 + \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{6} - x^3 - \frac{x^4}{2} + O(x^5)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{2}x^2 + \frac{x^3}{6} + O(x^4)}{x^2 - \frac{x^3}{2} - \frac{x^4}{3} + O(x^5)}$

分母分子を $x^2$ で割ると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{2} + \frac{x}{6} + O(x^2)}{1 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{3} + O(x^3)} = \frac{\frac{3}{2}}{1} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$