与えられた2次方程式 $4(x-2)^2 + 10(x-2) + 5 = 0$ を解いて、$x$の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式 $4(x-2)^2 + 10(x-2) + 5 = 0$ を解いて、$x$の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x-2 = y$ とおいて、方程式を書き換えます。

$4y^2 + 10y + 5 = 0$

次に、この2次方程式を解きます。解の公式を使うと、

$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a=4$, $b=10$, $c=5$ なので、

$y = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \times 4 \times 5}}{2 \times 4}$

$y = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 80}}{8}$

$y = \frac{-10 \pm \sqrt{20}}{8}$

$y = \frac{-10 \pm 2\sqrt{5}}{8}$

$y = \frac{-5 \pm \sqrt{5}}{4}$

したがって、$y = \frac{-5 + \sqrt{5}}{4}$ または $y = \frac{-5 - \sqrt{5}}{4}$ となります。

$x-2 = y$ より、$x = y+2$ なので、

$x = \frac{-5 + \sqrt{5}}{4} + 2 = \frac{-5 + \sqrt{5} + 8}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}$

または

$x = \frac{-5 - \sqrt{5}}{4} + 2 = \frac{-5 - \sqrt{5} + 8}{4} = \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}, \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$