数列 $1, 4, 10, 22, 46, \dots$ を $\{a_n\}$ とする。この数列の階差数列を $\{b_n\}$ とすると、$\{b_n\}$ は初項が $3$, 公比が $2$ の等比数列である。このとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $1, 4, 10, 22, 46, \dots$ を $\{a_n\}$ とする。この数列の階差数列を $\{b_n\}$ とすると、$\{b_n\}$ は初項が $3$, 公比が $2$ の等比数列である。このとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、階差数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。初項が $3$, 公比が $2$ の等比数列なので、

$b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

次に、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める。$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_1 = 1$ であり、$b_k = 3 \cdot 2^{k-1}$ なので、

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3 \cdot 2^{k-1} = 1 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}$

ここで、$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}$ は初項 $1$, 公比 $2$, 項数 $n-1$ の等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = \frac{1(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} = 2^{n-1} - 1$

よって、$a_n = 1 + 3(2^{n-1} - 1) = 1 + 3 \cdot 2^{n-1} - 3 = 3 \cdot 2^{n-1} - 2$

$n=1$ のとき、$a_1 = 3 \cdot 2^{1-1} - 2 = 3 \cdot 2^0 - 2 = 3 \cdot 1 - 2 = 1$ となり、$a_1 = 1$ を満たす。

したがって、一般項は $a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 2$

3. 最終的な答え

$a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 2$