(3) 初項 $a_1 = 2$ であり、漸化式 $a_{n+1} = 3a_n - 2$ で定義される数列の一般項を求める問題。 (4) 初項 $a_1 = 1$ であり、漸化式 $a_{n+1} = \frac{a_n - 1}{2}$ で定義される数列の一般項を求める問題。

1. 問題の内容

(3) 初項 $a_1 = 2$ であり、漸化式 $a_{n+1} = 3a_n - 2$ で定義される数列の一般項を求める問題。

(4) 初項 $a_1 = 1$ であり、漸化式 $a_{n+1} = \frac{a_n - 1}{2}$ で定義される数列の一般項を求める問題。

2. 解き方の手順

(3)

漸化式 $a_{n+1} = 3a_n - 2$ を変形して、等比数列の形に持ち込む。

$a_{n+1} - \alpha = 3(a_n - \alpha)$ となる $\alpha$ を求める。

$a_{n+1} = 3a_n - 2\alpha$ と比較すると、$-2\alpha = -2$ より、$\alpha = 1$。

よって、$a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)$ となる。

$b_n = a_n - 1$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$。

これは初項 $b_1 = a_1 - 1 = 2 - 1 = 1$、公比 $3$ の等比数列である。

よって、$b_n = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$。

$a_n = b_n + 1$ より、$a_n = 3^{n-1} + 1$。

(4)

漸化式 $a_{n+1} = \frac{a_n - 1}{2}$ を変形して、等比数列の形に持ち込む。

$a_{n+1} - \alpha = \frac{1}{2}(a_n - \alpha)$ となる $\alpha$ を求める。

$a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + \frac{1}{2}\alpha - \frac{1}{2}$ と比較すると、$\frac{1}{2}\alpha - \frac{1}{2} = -\alpha$ より、$\frac{3}{2}\alpha = \frac{1}{2}$となり、$\alpha = \frac{1}{3}$。

よって、$a_{n+1} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2}(a_n - \frac{1}{3})$ となる。

$b_n = a_n - \frac{1}{3}$ とおくと、$b_{n+1} = \frac{1}{2}b_n$。

これは初項 $b_1 = a_1 - \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列である。

よって、$b_n = \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2^{n-1}}$。

$a_n = b_n + \frac{1}{3}$ より、$a_n = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2^{n-1}} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3 \cdot 2^{n-1}} + \frac{1}{3} = \frac{2 + 2^{n-1}}{3 \cdot 2^{n-1}}$。

3. 最終的な答え

(3) $a_n = 3^{n-1} + 1$

(4) $a_n = \frac{2 + 2^{n-1}}{3 \cdot 2^{n-1}}$