(1) 多項式 $A = x^4 - 2x^2 + 6x - 8$ を多項式 $B = x^2 + x - 3$ で割ったときの商と余りを、除法の等式で表す。 (2) 多項式 $x^4 + 2x^3 + x^2$ と $x^4 + x$ の最大公約数を求める。 (3) ある整式を $(x+3)(x-4)$ で割ると余りが $3x+1$ である。この整式を $x-4$ で割ったときの余りを求める。 (4) 多項式 $x^3 - 3x^2 - kx + 4$ が $x+2$ で割り切れるように定数 $k$ の値を定める。

1. 問題の内容

(1) 多項式 $A = x^4 - 2x^2 + 6x - 8$ を多項式 $B = x^2 + x - 3$ で割ったときの商と余りを、除法の等式で表す。

(2) 多項式 $x^4 + 2x^3 + x^2$ と $x^4 + x$ の最大公約数を求める。

(3) ある整式を $(x+3)(x-4)$ で割ると余りが $3x+1$ である。この整式を $x-4$ で割ったときの余りを求める。

(4) 多項式 $x^3 - 3x^2 - kx + 4$ が $x+2$ で割り切れるように定数 $k$ の値を定める。

2. 解き方の手順

(1)

$A$ を $B$ で割る。

$x^4 - 2x^2 + 6x - 8 = (x^2+x-3)(x^2 - x + 2) + 5x - 2$

よって、商は $x^2 - x + 2$, 余りは $5x - 2$ となる。

(2)

$x^4 + 2x^3 + x^2 = x^2(x^2 + 2x + 1) = x^2(x+1)^2$

$x^4 + x = x(x^3 + 1) = x(x+1)(x^2 - x + 1)$

最大公約数は、$x(x+1) = x^2 + x$ となる。

(3)

ある整式を $P(x)$ とすると、

$P(x) = (x+3)(x-4)Q(x) + 3x + 1$ と表せる。

$P(x)$ を $x-4$ で割った余りは、$P(4)$ で求められる。

$P(4) = (4+3)(4-4)Q(4) + 3(4) + 1 = 0 + 12 + 1 = 13$

よって、求める余りは $13$ である。

(4)

$x^3 - 3x^2 - kx + 4$ が $x+2$ で割り切れるので、剰余の定理より

$(-2)^3 - 3(-2)^2 - k(-2) + 4 = 0$

$-8 - 12 + 2k + 4 = 0$

$2k = 16$

$k = 8$

3. 最終的な答え

(1) 商: $x^2 - x + 2$, 余り: $5x - 2$

(2) $x^2 + x$

(3) $13$

(4) $k = 8$