問題は、指数に関する方程式 $3^x - 3^{-x} = 4$ が与えられたときに、$3^x + 3^{-x}$ の値を求め、さらに、この方程式を満たす $x$ の値を求め、最後にその値がある整数の範囲に収まるか判定する問題です。

1. 問題の内容

問題は、指数に関する方程式 $3^x - 3^{-x} = 4$ が与えられたときに、$3^x + 3^{-x}$ の値を求め、さらに、この方程式を満たす $x$ の値を求め、最後にその値がある整数の範囲に収まるか判定する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$3^x + 3^{-x}$ の値を求めます。

$3^x - 3^{-x} = 4$ を両辺2乗すると、

$(3^x - 3^{-x})^2 = 4^2$

$(3^x)^2 - 2(3^x)(3^{-x}) + (3^{-x})^2 = 16$

$3^{2x} - 2 + 3^{-2x} = 16$

$3^{2x} + 3^{-2x} = 18$

ここで、$(3^x + 3^{-x})^2 = 3^{2x} + 2 + 3^{-2x}$ であるから、

$(3^x + 3^{-x})^2 = 18 + 2 = 20$

$3^x + 3^{-x} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ (∵ $3^x + 3^{-x}$ は正)

よって、$ア = 2$, $イ = 5$ となります。

次に、方程式 $3^x - 3^{-x} = 4$ を満たす $x$ の値を求めます。

$3^x - 3^{-x} = 4$ の両辺に $3^x$ を掛けると、

$(3^x)^2 - 1 = 4(3^x)$

$(3^x)^2 - 4(3^x) - 1 = 0$

$3^x = t$ とおくと、$t^2 - 4t - 1 = 0$ となり、$t$ についての二次方程式を解くと、

$t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(-1)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$

ここで、$t = 3^x > 0$ であるから、$t = 2 + \sqrt{5}$

したがって、$3^x = 2 + \sqrt{5}$ となり、両辺の対数をとると、

$x = \log_3(2 + \sqrt{5})$

よって、$ウ = 3$, $エ = 2$, $オ = +$, $カ = 5$ となります。

最後に、$n \le \alpha < n+1$ を満たす整数 $n$ を求めます。

$\alpha = \log_3(2 + \sqrt{5})$ であり、$\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$ より、$2 < \sqrt{5} < 3$

したがって、$4 < 2 + \sqrt{5} < 5$

ここで、$3^1 = 3$ であり、$3^2 = 9$ であるから、$3^0 = 1 < 4 < 3$ および $5 < 9 = 3^2$ が成り立ちます。

よって、$3^1 = 3 < 2 + \sqrt{5} < 3^2 = 9$ より、$1 < \alpha = \log_3(2 + \sqrt{5}) < 2$

したがって、$n=1$ となり、$キ = 1$ となります。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 5

ウ: 3

エ: 2

オ: +

カ: 5

キ: 1