(1) $2^{50}$ は何桁の数か。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とする。 (2) $(\frac{1}{50})^{10}$ を小数で表すと、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とする。

1. 問題の内容

(1) $2^{50}$ は何桁の数か。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とする。

(2) $(\frac{1}{50})^{10}$ を小数で表すと、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とする。

2. 解き方の手順

(1) $2^{50}$ の桁数を求める。

$N = 2^{50}$ とおく。

両辺の常用対数をとると、

$\log_{10}N = \log_{10}2^{50} = 50\log_{10}2 = 50 \times 0.3010 = 15.05$

$N = 10^{15.05} = 10^{15} \times 10^{0.05}$

$10^{0.05}$ は1より大きい数であるから、$2^{50}$ は16桁の数である。

(2) $(\frac{1}{50})^{10}$ の小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める。

$M = (\frac{1}{50})^{10} = (50^{-1})^{10} = 50^{-10} = (5 \times 10)^{-10} = 5^{-10} \times 10^{-10}$

$5 = \frac{10}{2}$ より、

$M = (\frac{10}{2})^{-10} \times 10^{-10} = (\frac{2}{10})^{10} \times 10^{-10} = 2^{10} \times 10^{-10} \times 10^{-10} = 2^{10} \times 10^{-20}$

両辺の常用対数をとると、

$\log_{10}M = \log_{10}(2^{10} \times 10^{-20}) = \log_{10}2^{10} + \log_{10}10^{-20} = 10\log_{10}2 - 20$

$= 10 \times 0.3010 - 20 = 3.01 - 20 = -16.99$

$M = 10^{-16.99} = 10^{-17 + 0.01} = 10^{-17} \times 10^{0.01}$

$10^{0.01} > 1$ であるから、小数第17位に初めて0でない数字が現れる。

3. 最終的な答え

(1) 16桁

(2) 小数第17位