一辺の長さが $p$ の正方形の花壇の周りに幅 $a$ の道がついている。道の面積を $S$, 道の真ん中を通る線の長さを $l$ とするとき、$S=al$ となることを証明する。

1. 問題の内容

一辺の長さが $p$ の正方形の花壇の周りに幅 $a$ の道がついている。道の面積を $S$, 道の真ん中を通る線の長さを $l$ とするとき、$S=al$ となることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、道の面積 $S$ を求める。

外側の正方形の一辺の長さは $p+2a$ なので、面積は $(p+2a)^2$ である。

花壇の面積は $p^2$ である。

したがって、道の面積 $S$ は、

$S = (p+2a)^2 - p^2$

$S = p^2 + 4ap + 4a^2 - p^2$

$S = 4ap + 4a^2$

次に、道の真ん中を通る線の長さ $l$ を求める。

道の真ん中を通る正方形の一辺の長さは $p+a$ なので、

$l = 4(p+a)$

$l = 4p+4a$

最後に、$S=al$ となることを示す。

$al = a(4p+4a)$

$al = 4ap + 4a^2$

上記の $S$ と $al$ の式を比較すると、$S = al$ であることがわかる。

3. 最終的な答え

$S = 4ap + 4a^2$

$l = 4p + 4a$

$al = a(4p + 4a) = 4ap + 4a^2$

したがって、$S = al$ であることが証明された。