$3^{25}$ は何桁の整数かを、$\log_{10}2 = 0.3010$ および $\log_{10}3 = 0.4771$ を用いて求めます。

1. 問題の内容

$3^{25}$ は何桁の整数かを、$\log_{10}2 = 0.3010$ および $\log_{10}3 = 0.4771$ を用いて求めます。

2. 解き方の手順

桁数を求めるためには、常用対数をとります。

$N = 3^{25}$ とおくと、

$\log_{10}N = \log_{10}3^{25} = 25\log_{10}3$

$\log_{10}3 = 0.4771$ であるから、

$\log_{10}N = 25 \times 0.4771 = 11.9275$

ここで、$\log_{10}N = 11.9275$ であるということは、$N = 10^{11.9275}$ であることを意味します。

$10^{11} < N < 10^{12}$ であるから、$N$ は 12 桁の数です。

一般に、$N$ が整数で $\log_{10}N = k + \alpha$ （$k$ は整数、$0 \le \alpha < 1$）のとき、$N$ は $k+1$ 桁の整数となります。今、$k=11$であるから、$3^{25}$ は $11+1 = 12$ 桁の整数です。

3. 最終的な答え

12桁