$\log_{10}{\frac{16}{27}}$ の値を、$\log_{10}2 = 0.3010$ と $\log_{10}3 = 0.4771$ を用いて計算し、四捨五入して小数第2位まで求めよ。

1. 問題の内容

$\log_{10}{\frac{16}{27}}$ の値を、$\log_{10}2 = 0.3010$ と $\log_{10}3 = 0.4771$ を用いて計算し、四捨五入して小数第2位まで求めよ。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を用いて式を分解します。

$\log_{10}{\frac{16}{27}} = \log_{10}16 - \log_{10}27$

次に、16 と 27 をそれぞれ 2 と 3 のべき乗の形に書き換えます。

$16 = 2^4$、 $27 = 3^3$

すると、

$\log_{10}16 - \log_{10}27 = \log_{10}2^4 - \log_{10}3^3$

対数の性質 $\log_{a}b^c = c \log_{a}b$ を用いて、

$\log_{10}2^4 - \log_{10}3^3 = 4\log_{10}2 - 3\log_{10}3$

$\log_{10}2 = 0.3010$ と $\log_{10}3 = 0.4771$ を代入して、

$4\log_{10}2 - 3\log_{10}3 = 4(0.3010) - 3(0.4771) = 1.2040 - 1.4313 = -0.2273$

小数第2位まで四捨五入すると、$-0.23$ となります。

3. 最終的な答え

-0.23