$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2 \sqrt{n}} \sum_{k=1}^{n} k \sqrt{k}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2 \sqrt{n}} \sum_{k=1}^{n} k \sqrt{k}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$\frac{1}{n^2 \sqrt{n}} \sum_{k=1}^{n} k \sqrt{k} = \frac{1}{n^{5/2}} \sum_{k=1}^{n} k^{3/2} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (\frac{k}{n})^{3/2}$

この式はリーマン和の形になっているため、積分を用いて極限を計算できます。

$f(x) = x^{3/2}$ とすると、積分は $\int_0^1 x^{3/2} dx$ となります。

$\int_0^1 x^{3/2} dx = \left[ \frac{2}{5} x^{5/2} \right]_0^1 = \frac{2}{5} (1^{5/2} - 0^{5/2}) = \frac{2}{5}$

したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2 \sqrt{n}} \sum_{k=1}^{n} k \sqrt{k} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (\frac{k}{n})^{3/2} = \int_0^1 x^{3/2} dx = \frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{5}$