関数 $y = \frac{4x+1}{x-2}$ ($x>2$) の逆関数を求める問題です。逆関数は $y = \frac{\boxed{1}x+\boxed{2}}{x-\boxed{3}}$ ($x>\boxed{4}$) の形で表されます。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{4x+1}{x-2}$ ($x>2$) の逆関数を求める問題です。逆関数は $y = \frac{\boxed{1}x+\boxed{2}}{x-\boxed{3}}$ ($x>\boxed{4}$) の形で表されます。

2. 解き方の手順

逆関数を求めるには、$x$ と $y$ を入れ替えて、$y$ について解きます。

与えられた関数は $y = \frac{4x+1}{x-2}$ です。$x$ と $y$ を入れ替えると、

$$x = \frac{4y+1}{y-2}$$

となります。これを $y$ について解きます。

まず、両辺に $y-2$ をかけると、

$$x(y-2) = 4y+1$$

$$xy - 2x = 4y+1$$

$y$ を含む項を左辺に、含まない項を右辺に移動すると、

$$xy - 4y = 2x+1$$

$y$ でくくると、

$$y(x-4) = 2x+1$$

したがって、$y$ は

$$y = \frac{2x+1}{x-4}$$

と表されます。

次に、定義域を考えます。元の関数 $y = \frac{4x+1}{x-2}$ の定義域は $x > 2$ であり、値域は

$y = \frac{4x+1}{x-2} = \frac{4(x-2)+9}{x-2} = 4 + \frac{9}{x-2}$

$x > 2$ のとき $x-2 > 0$ であるから $\frac{9}{x-2} > 0$ となり、$y > 4$ となります。

逆関数 $y = \frac{2x+1}{x-4}$ の定義域は元の関数の値域なので、$x > 4$ となります。

3. 最終的な答え

$\boxed{1} = 2$

$\boxed{2} = 1$

$\boxed{3} = 4$

$\boxed{4} = 4$

したがって、逆関数は $y = \frac{2x+1}{x-4}$ ($x>4$) です。