関数 $f(x) = -\sqrt{3} \sin x - \cos x$ ($0 \leq x \leq 2\pi$) について、以下の問いに答える問題です。 (1) $f(x)$ を $A \sin(x - \alpha)$ の形に変形する。 (2) $f(x) < 0$ を満たす $x$ の範囲を求める。 (3) 曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸および $y$ 軸で囲まれた部分の面積を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -\sqrt{3} \sin x - \cos x$ ($0 \leq x \leq 2\pi$) について、以下の問いに答える問題です。

(1) $f(x)$ を $A \sin(x - \alpha)$ の形に変形する。

(2) $f(x) < 0$ を満たす $x$ の範囲を求める。

(3) 曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸および $y$ 軸で囲まれた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = -\sqrt{3} \sin x - \cos x$ を合成します。

$f(x) = A \sin(x - \alpha)$ とすると、$A = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = 2$ です。

したがって、$f(x) = 2 \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x - \frac{1}{2} \cos x \right) = 2 \sin(x - \alpha)$ となります。

$\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin \alpha = -\frac{1}{2}$ となる $\alpha$ は、$\alpha = \frac{7\pi}{6}$ です。

よって、$f(x) = 2 \sin\left(x - \frac{7\pi}{6}\right)$ です。

(2) $f(x) < 0$ より、$2 \sin\left(x - \frac{7\pi}{6}\right) < 0$ なので、$\sin\left(x - \frac{7\pi}{6}\right) < 0$ です。

$0 \leq x \leq 2\pi$ なので、$-\frac{7\pi}{6} \leq x - \frac{7\pi}{6} \leq 2\pi - \frac{7\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ です。

$\sin \theta < 0$ となる $\theta$ の範囲は、$\pi < \theta < 2\pi$ です。

したがって、$\pi < x - \frac{7\pi}{6} < 2\pi$ を満たす $x$ を求めます。

$\pi + \frac{7\pi}{6} < x < 2\pi + \frac{7\pi}{6}$ より、$\frac{13\pi}{6} < x < \frac{19\pi}{6}$ です。

ただし、$0 \leq x \leq 2\pi$ であるため、$0 \leq x \leq 2\pi$ と $\frac{13\pi}{6} < x < \frac{19\pi}{6}$ の共通範囲を求めます。

$\frac{13\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}$ なので、$x > \frac{13\pi}{6}$ は $x > 2\pi + \frac{\pi}{6}$ と同じです。

$f(x) < 0$ となる $x$ の範囲は、$x - \frac{7\pi}{6}$ の範囲が$(\pi, 2\pi)$ の範囲に対応します。

$x - \frac{7\pi}{6} \in (\pi, 2\pi) \Leftrightarrow x \in (\frac{13\pi}{6}, \frac{19\pi}{6})$

$x - \frac{7\pi}{6} \in (-\pi, 0) \Leftrightarrow x \in (-\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6})$

したがって、$\pi < x - \frac{7\pi}{6} < 0$ より、 $-\pi < x - \frac{7\pi}{6} < 0$ とすると、$-\pi + \frac{7\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6}$ より、 $\frac{\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6}$ です。

$\pi < x - \frac{7\pi}{6} < 2\pi \Rightarrow \frac{13\pi}{6} < x < \frac{19\pi}{6}$.

ここで，$x \in [0, 2\pi]$ なので、$x \in [\frac{13\pi}{6}, \frac{12\pi}{6}]$. よって、$x \in [\frac{13\pi}{6}, 2\pi]$.

よって、$\frac{13\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}$. なので、$2\pi + \frac{\pi}{6} < x \leq 2\pi$. つまり$\frac{13\pi}{6} < x \leq 2\pi$

$\sin(x-\frac{7\pi}{6})<0$ となるのは、$x - \frac{7\pi}{6}$ が $\pi$ から $2\pi$ の間にあるとき。すなわち、$\pi < x - \frac{7\pi}{6} < 2\pi$.

これを解くと、$\frac{13\pi}{6} < x < \frac{19\pi}{6}$. ところが、$0 \leq x \leq 2\pi$ であるから、$\frac{13\pi}{6} < x \leq 2\pi$.

つまり、$\frac{13\pi}{6} < x \leq \frac{12\pi}{6}$ となる。

$x-\frac{7\pi}{6} = \theta$とすると、$x=\theta + \frac{7\pi}{6}$. $f(x) = 2\sin(\theta) < 0$ より、$\pi < \theta < 2\pi$ より、

$\pi < x-\frac{7\pi}{6} < 2\pi$ $\rightarrow$ $\frac{13\pi}{6} < x < \frac{19\pi}{6}$. よって、$x\in (\frac{13}{6}\pi,2\pi]$

$x \in [\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}]$

$0\le x < \frac{7\pi}{6}$ の時$\sin x - \alpha < 0$

$f(x)<0$となる$x$の範囲は，$\pi < x-\frac{7\pi}{6} < 2\pi$.

$\frac{13\pi}{6} < x < \frac{19\pi}{6}$．これと，$0 \leq x \leq 2\pi$ から, $\frac{13\pi}{6} < x \leq 2\pi$.

そこで，$2\pi = \frac{12\pi}{6}$ とすれば,$\frac{13}{6}\pi < x \leq 2\pi$

$f(x) = -2 \sin(\frac{\pi}{6}+x) < 0$のとき$x \in \frac{\pi}{6}+ \pi, \frac{\pi}{6}+2\pi$

(3) 曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸および $y$ 軸で囲まれた部分の面積を求めます。

$f(x) = 2 \sin(x - \frac{7\pi}{6})$ より、$f(x) = 0$ となる $x$ は、$x - \frac{7\pi}{6} = n\pi$ ($n$ は整数) です。

$x = \frac{7\pi}{6} + n\pi$ です。

$0 \leq x \leq 2\pi$ の範囲で、$x = \frac{7\pi}{6}$、$x = \frac{13\pi}{6}$ です。

$y$ 軸との交点は、$x=0$ のとき、$f(0) = -\sqrt{3} \sin 0 - \cos 0 = -1$ です。

$x = \frac{7\pi}{6}$ で $f(x) = 0$ になるので、面積を求める範囲は $0 \leq x \leq \frac{7\pi}{6}$ です。

面積は $\int_0^{\frac{7\pi}{6}} |f(x)| dx = -\int_0^{\frac{7\pi}{6}} f(x) dx = -\int_0^{\frac{7\pi}{6}} (-\sqrt{3} \sin x - \cos x) dx = \int_0^{\frac{7\pi}{6}} (\sqrt{3} \sin x + \cos x) dx$

$= [-\sqrt{3} \cos x + \sin x]_0^{\frac{7\pi}{6}} = \left(-\sqrt{3} \cos \frac{7\pi}{6} + \sin \frac{7\pi}{6}\right) - (-\sqrt{3} \cos 0 + \sin 0) = \left(-\sqrt{3} \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(-\frac{1}{2}\right)\right) - (-\sqrt{3} \cdot 1 + 0) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} + \sqrt{3} = 1 + \sqrt{3}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 2, 7, 6

(2) 13, 6, 2

(3) 1, 3