与えられた関数 $f(x) = \sin^{-1}(2x)$ を微分する。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \sin^{-1}(2x)$ を微分する。

2. 解き方の手順

アークサイン関数の微分公式と合成関数の微分（連鎖律）を用いる。

アークサイン関数の微分公式は、

$\frac{d}{dx} \sin^{-1}(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

である。

合成関数の微分（連鎖律）は、

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

である。

この問題では、$f(u) = \sin^{-1}(u)$ と $g(x) = 2x$ を考える。すると、$f(x) = f(g(x)) = \sin^{-1}(2x)$ となる。

まず、$f'(u)$ を計算する。

$f'(u) = \frac{d}{du} \sin^{-1}(u) = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$

次に、$g'(x)$ を計算する。

$g'(x) = \frac{d}{dx} (2x) = 2$

連鎖律を用いて、$f(x)$ の微分を計算する。

$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} \sin^{-1}(2x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^2}} \cdot 2 = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{d}{dx} \sin^{-1}(2x) = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$