直角三角形ABCにおいて、AB = 4, BC = $\sqrt{7}$, AC = 3のとき、cos C の値を求めよ。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、AB = 4, BC = $\sqrt{7}$, AC = 3のとき、cos C の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、直角三角形ABCにおいて、どの角が直角であるかを判断する必要があります。

ピタゴラスの定理 $a^2 + b^2 = c^2$ が成り立つかどうかを確認します。

ここで、最も長い辺がAB=4なので、もし三角形が直角三角形なら、ABが斜辺である可能性があります。

$AC^2 + BC^2 = 3^2 + (\sqrt{7})^2 = 9 + 7 = 16$

$AB^2 = 4^2 = 16$

したがって、$AC^2 + BC^2 = AB^2$ が成り立つので、三角形ABCは角Cを直角とする直角三角形ではありません。

また、角Aを直角とすると、BCが斜辺となるはずですが、BC = $\sqrt{7}$ < 4 = ABなので、角Aも直角ではありません。

従って、角Bが直角であり、ACが斜辺であることはあり得ません。問題文が誤りであるか、直角三角形ABCではなく、三角形ABCと解釈する必要があります。

余弦定理より、

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC * cosC$

$4^2 = 3^2 + (\sqrt{7})^2 - 2 * 3 * \sqrt{7} * cosC$

$16 = 9 + 7 - 6\sqrt{7}cosC$

$16 = 16 - 6\sqrt{7}cosC$

$0 = - 6\sqrt{7}cosC$

$cosC = 0$

3. 最終的な答え

cos C = 0