1から6までの番号が書かれた6枚のカードを並べ、花子さんが2番目に引いたカードが偶数のときコインをもらい、太郎さんが1番目に引いたカードが奇数のときコインをもらう。 (1) 6枚のカードの並べ方は何通りあるか、花子さんがコインをもらえる確率を求めよ。 (2) 2人ともコインをもらえる確率、2人ともコインをもらえない確率を求めよ。 (3) 花子さんがコインをもらえず、太郎さんがコインをもらえる確率を求めよ。また、太郎さんがコインをもらったという条件のもとで、花子さんがコインをもらえない条件付き確率を求めよ。 (4) 花子さんがコインをもらえる、または太郎さんがコインをもらえない確率を求めよ。

1. 問題の内容

1から6までの番号が書かれた6枚のカードを並べ、花子さんが2番目に引いたカードが偶数のときコインをもらい、太郎さんが1番目に引いたカードが奇数のときコインをもらう。

(1) 6枚のカードの並べ方は何通りあるか、花子さんがコインをもらえる確率を求めよ。

(2) 2人ともコインをもらえる確率、2人ともコインをもらえない確率を求めよ。

(3) 花子さんがコインをもらえず、太郎さんがコインをもらえる確率を求めよ。また、太郎さんがコインをもらったという条件のもとで、花子さんがコインをもらえない条件付き確率を求めよ。

(4) 花子さんがコインをもらえる、または太郎さんがコインをもらえない確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 6枚のカードの並べ方は $6!$ で計算できる。

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

花子さんが2番目にコインをもらえるのは、2番目のカードが2,4,6のいずれかの場合。

2番目が2の場合、残りの5枚の並べ方は $5!$ 通り。2番目が4の場合も、2番目が6の場合も同様に $5!$ 通り。

よって、花子さんがコインをもらえる場合の数は $3 \times 5!$ 通り。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

$3 \times 5! = 3 \times 120 = 360$

花子さんがコインをもらえる確率は $\frac{3 \times 5!}{6!} = \frac{360}{720} = \frac{1}{2}$

太郎さんがコインをもらえるのは、1番目のカードが1,3,5のいずれかの場合。同様に考えると、太郎さんがコインをもらえる確率も $\frac{1}{2}$。

(2) 2人ともコインをもらえるのは、1番目が1,3,5のいずれかで、2番目が2,4,6のいずれかの場合。

1番目が奇数の場合、残りの5枚の並べ方は $5!$ 通り。そのうち、2番目が偶数になるのは、偶数が3枚あるので、2番目が偶数になるのは $3 \times 4!$ 通り。

したがって、2人ともコインをもらえるのは $3 \times 3 \times 4!$ 通り。

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

$3 \times 3 \times 4! = 9 \times 24 = 216$

2人ともコインをもらえる確率は $\frac{3 \times 3 \times 4!}{6!} = \frac{216}{720} = \frac{3}{10}$

2人ともコインをもらえないのは、1番目が偶数で、2番目が奇数の場合。同様に $3 \times 3 \times 4!$ 通り。

2人ともコインをもらえない確率は $\frac{3 \times 3 \times 4!}{6!} = \frac{216}{720} = \frac{3}{10}$

(3) 花子さんがコインをもらえず、太郎さんがコインをもらえるのは、1番目が奇数で、2番目が奇数の場合。

1番目が奇数の場合、残りの5枚の並べ方は $5!$ 通り。そのうち、2番目が奇数になるのは、残りの奇数が2枚あるので、$2 \times 4!$ 通り。

したがって、花子さんがコインをもらえず、太郎さんがコインをもらえるのは $3 \times 2 \times 4!$ 通り。

$3 \times 2 \times 4! = 6 \times 24 = 144$

花子さんがコインをもらえず、太郎さんがコインをもらえる確率は $\frac{3 \times 2 \times 4!}{6!} = \frac{144}{720} = \frac{1}{5}$

太郎さんがコインをもらったという条件のもとで、花子さんがコインをもらえない条件付き確率は、$\frac{\text{花子さんがコインをもらえず、太郎さんがコインをもらえる}}{\text{太郎さんがコインをもらえる}} = \frac{1/5}{1/2} = \frac{2}{5}$

(4) 花子さんがコインをもらえる、または太郎さんがコインをもらえない確率は、

$P(\text{花子さんがもらえる}) + P(\text{太郎さんがもらえない}) - P(\text{花子さんがもらえる and 太郎さんがもらえない})$

$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

3. 最終的な答え

(1) アイウ: 720、ク: 1/2、ケ: 等しい

(2) スセ: 3/10、ソ: 3/10

(3) テト: 1/5、ナ: 2/5

(4) ヌネ: 4/5