与えられた式 $x^2(y+z) + y^2(z+x) + z^2(x+y) + 2xyz$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2(y+z) + y^2(z+x) + z^2(x+y) + 2xyz$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、式を展開する。

$x^2(y+z) + y^2(z+x) + z^2(x+y) + 2xyz = x^2y + x^2z + y^2z + y^2x + z^2x + z^2y + 2xyz$

次に、式を整理する。

$x^2y + x^2z + y^2z + y^2x + z^2x + z^2y + 2xyz = x^2y + xy^2 + y^2z + yz^2 + z^2x + zx^2 + 2xyz$

$x$ について整理する。

$x^2(y+z) + x(y^2+2yz+z^2) + y^2z + yz^2 = x^2(y+z) + x(y+z)^2 + yz(y+z)$

$(y+z)$ でくくる。

$(y+z)[x^2 + x(y+z) + yz]$

括弧内を因数分解する。

$(y+z)[x^2 + xy + xz + yz] = (y+z)[x(x+y) + z(x+y)] = (y+z)(x+y)(x+z)$

したがって、与えられた式は $(x+y)(y+z)(z+x)$ と因数分解できる。

3. 最終的な答え

$(x+y)(y+z)(z+x)$