直角三角形ABCにおいて、$AB = 2$, $BC = \sqrt{3}$, $AC = 1$のとき、$\cos B$の値を求めよ。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、$AB = 2$, $BC = \sqrt{3}$, $AC = 1$のとき、$\cos B$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦の定義を用いて$\cos B$を求めます。

余弦定理は、三角形ABCにおいて、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$

と表されます。

この式に与えられた値を代入すると、

$1^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos B$

$1 = 4 + 3 - 4\sqrt{3} \cos B$

$1 = 7 - 4\sqrt{3} \cos B$

$4\sqrt{3} \cos B = 7 - 1$

$4\sqrt{3} \cos B = 6$

$\cos B = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$

分母を有理化するために、分子と分母に$\sqrt{3}$をかけます。

$\cos B = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$\cos B = \frac{\sqrt{3}}{2}$