(1) 双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ と直線 $y = kx - 3$ が異なる2点で交わるような実数 $k$ の範囲を求める。 (2) 双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ と直線 $y = kx - 3$ が異なる2点P, Qで交わるとき、PとQの中点Rの座標(X, Y)を $k$ で表し、さらに $k$ が変化するとき、Rが描く軌跡の方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) 双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ と直線 $y = kx - 3$ が異なる2点で交わるような実数 $k$ の範囲を求める。

(2) 双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ と直線 $y = kx - 3$ が異なる2点P, Qで交わるとき、PとQの中点Rの座標(X, Y)を $k$ で表し、さらに $k$ が変化するとき、Rが描く軌跡の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ と直線 $y = kx - 3$ の交点を求める。

$x^2 - (kx - 3)^2 = 1$

$x^2 - (k^2x^2 - 6kx + 9) = 1$

$(1 - k^2)x^2 + 6kx - 10 = 0$

この2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D > 0$ である。

$D/4 = (3k)^2 - (1 - k^2)(-10) = 9k^2 + 10 - 10k^2 = -k^2 + 10 > 0$

$k^2 < 10$

$-\sqrt{10} < k < \sqrt{10}$

また、$1-k^2 \neq 0$ である必要があるので、$k \neq \pm 1$.

(2)

(i)

2点P, Qのx座標を $x_1, x_2$ とすると、中点Rのx座標Xは

$X = \frac{x_1 + x_2}{2}$

解と係数の関係より、$x_1 + x_2 = \frac{-6k}{1 - k^2} = \frac{6k}{k^2 - 1}$

$X = \frac{3k}{k^2 - 1}$

また、2点P, Qのy座標を $y_1, y_2$ とすると、中点Rのy座標Yは

$Y = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{kx_1 - 3 + kx_2 - 3}{2} = \frac{k(x_1 + x_2) - 6}{2}$

$Y = \frac{k\frac{6k}{k^2 - 1} - 6}{2} = \frac{6k^2 - 6(k^2 - 1)}{2(k^2 - 1)} = \frac{6}{2(k^2 - 1)} = \frac{3}{k^2 - 1}$

したがって、$X = \frac{3k}{k^2 - 1}$、$Y = \frac{3}{k^2 - 1}$

$X = kY$ より、$k = \frac{X}{Y}$

$Y = \frac{3}{(\frac{X}{Y})^2 - 1} = \frac{3Y^2}{X^2 - Y^2}$

$X^2 - Y^2 = 3Y$

$X^2 - Y^2 - 3Y = 0$

(ii)

$X^2 - (Y^2 + 3Y) = 0$

$X^2 - (Y^2 + 3Y + \frac{9}{4}) = -\frac{9}{4}$

$X^2 - (Y + \frac{3}{2})^2 = -\frac{9}{4}$

$X^2 - (Y + \frac{3}{2})^2 = -\frac{9}{4}$

したがって、$X = \frac{3k}{k^2-1}$、$Y = \frac{3}{k^2-1}$

$X^2 - (Y + \frac{3}{2})^2 = - \frac{9}{4}$

与えられた式の形に合わせると、$X = \frac{6(\frac{k}{2})}{(\frac{k}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 \cdot 4}$、$Y = \frac{6/2}{k^2-1}$であり，$k^2-1$の形より，$X = \frac{6k}{k^2-1}$、$Y = \frac{3}{k^2-1}$と考える。

$X = \frac{3k}{k^2-1}$、$Y = \frac{3}{k^2-1}$

$X = \frac{6k/2}{k^2 -1}$, $Y = \frac{3}{k^2-1}$

$X^2 - (Y + \frac{3}{2})^2 = -\frac{9}{4}$

$x^2 - (y + \frac{3}{2})^2 = -\frac{9}{4}$

$x^2 - (y + \frac{3}{2})^2 = -\frac{9}{4}$

$x^2 - (y^2 + 3y + \frac{9}{4}) = -\frac{9}{4}$

$x^2 - y^2 - 3y = 0$

$x^2 - (y^2 + 3y + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2) = 0$

$x^2 - (y + \frac{3}{2})^2 = -\frac{9}{4}$

$x^2 - (y + \frac{3}{2})^2 = -\frac{9}{4}$

$x^2 - (y + \frac{3}{2})^2 = -\frac{9}{4}$

$x^2 - (y + \frac{3}{2})^2 = - \frac{9}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $-\sqrt{10} < k < \sqrt{10}$ ($k \neq \pm 1$)

1 : 10, 2 : 10, 3 : 10, 4 : 10, 5 : 1

(2) (i) $X = \frac{3k}{k^2-1}, Y = \frac{3}{k^2-1}$

6 : 3, 7 : 1, 8 : 3, 9 : 1

(ii) $x^2 - (y + \frac{3}{2})^2 = - \frac{9}{4}$

10 : 3, 11 : 2, 12 : 9, 13 : 4