直角三角形ABCにおいて、$AB=2$, $BC=\sqrt{3}$, $AC=1$であるとき、$\tan B$の値を求めよ。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、$AB=2$, $BC=\sqrt{3}$, $AC=1$であるとき、$\tan B$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

三角形ABCが直角三角形であるという情報から、どの角が直角であるかを特定する必要があります。ピタゴラスの定理、$a^2 + b^2 = c^2$ を用いて確認します。ここで、$c$ は斜辺で、最も長い辺です。

$AC^2 + BC^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$

$AB^2 = 2^2 = 4$

したがって、$AC^2 + BC^2 = AB^2$が成り立つため、角Cが直角です。

$\tan B$は、直角三角形において、$\tan B = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}$で定義されます。

角Bの対辺はAC、隣辺はBCなので、

$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}$を分母の有理化を行うと、

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$\tan B = \frac{\sqrt{3}}{3}$