初項から第$n$項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 - n$ で表される数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

初項から第$n$項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 - n$ で表される数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

数列 $\{a_n\}$ の初項から第$n$項までの和が $S_n$ であるとき、

$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ が成り立つ。

$a_1 = S_1$ も成り立つ。

$S_n = n^2 - n$ より、

$S_1 = 1^2 - 1 = 0$

$S_{n-1} = (n-1)^2 - (n-1) = n^2 - 2n + 1 - n + 1 = n^2 - 3n + 2$

よって、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 - n) - (n^2 - 3n + 2) = n^2 - n - n^2 + 3n - 2 = 2n - 2$

$n=1$ のとき、$a_1 = S_1 = 0$

$2n - 2$ に $n=1$ を代入すると $2(1) - 2 = 0$ となり、$a_1 = 0$ と一致する。

したがって、$a_n = 2n - 2$ は $n=1$ のときも成り立つ。

3. 最終的な答え

$a_n = 2n - 2$