$\sqrt{12} - \sqrt{108}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の問いに答えます。 (1) $a$, $b$ の値を求めます。 (2) $b^3 + \frac{1}{b^3}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\sqrt{12} - \sqrt{108}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の問いに答えます。

(1) $a$, $b$ の値を求めます。

(2) $b^3 + \frac{1}{b^3}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\sqrt{12}$ と $\sqrt{108}$ を簡単にします。

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3}$

したがって、$\sqrt{12} - \sqrt{108} = 2\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = -4\sqrt{3}$

$\sqrt{3}$ の近似値は1.732なので、$4\sqrt{3} \approx 4 \times 1.732 = 6.928$

よって、$-4\sqrt{3} \approx -6.928$

整数部分 $a$ は、$-4\sqrt{3}$ の整数部分なので、$a = -7$

小数部分 $b$ は、$-4\sqrt{3} - a$ で求められます。

$b = -4\sqrt{3} - (-7) = 7 - 4\sqrt{3}$

(2)

$b^3 + \frac{1}{b^3}$ の値を求めるために、$b + \frac{1}{b}$ の値を先に計算します。

$b = 7 - 4\sqrt{3}$ なので、$\frac{1}{b} = \frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{49 - 16 \times 3} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{49 - 48} = 7 + 4\sqrt{3}$

したがって、$b + \frac{1}{b} = (7 - 4\sqrt{3}) + (7 + 4\sqrt{3}) = 14$

$b^3 + \frac{1}{b^3}$ を求めるために、次の公式を利用します。

$(b + \frac{1}{b})^3 = b^3 + 3b^2(\frac{1}{b}) + 3b(\frac{1}{b^2}) + \frac{1}{b^3} = b^3 + 3b + \frac{3}{b} + \frac{1}{b^3} = b^3 + \frac{1}{b^3} + 3(b + \frac{1}{b})$

よって、$b^3 + \frac{1}{b^3} = (b + \frac{1}{b})^3 - 3(b + \frac{1}{b})$

$b + \frac{1}{b} = 14$ なので、$b^3 + \frac{1}{b^3} = (14)^3 - 3(14) = 2744 - 42 = 2702$

3. 最終的な答え

(1) $a = -7$, $b = 7 - 4\sqrt{3}$

(2) $b^3 + \frac{1}{b^3} = 2702$