数列 $\{a_n\}$ が以下の条件で定められている。 $a_1 = 2$, $3(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2) = n a_n a_{n+1}$ ($n=1, 2, 3, \dots$) (1) $a_2$, $a_3$, $a_4$ を求めよ。 (2) $a_n$ を推測し、それを数学的帰納法で証明せよ。 (3) $S_n = \frac{1}{a_1 a_2} + \frac{1}{a_2 a_3} + \dots + \frac{1}{a_n a_{n+1}}$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が以下の条件で定められている。

$a_1 = 2$, $3(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2) = n a_n a_{n+1}$ ($n=1, 2, 3, \dots$)

(1) $a_2$, $a_3$, $a_4$ を求めよ。

(2) $a_n$ を推測し、それを数学的帰納法で証明せよ。

(3) $S_n = \frac{1}{a_1 a_2} + \frac{1}{a_2 a_3} + \dots + \frac{1}{a_n a_{n+1}}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$n=1$ のとき、$3 a_1^2 = a_1 a_2$ より、$3 \cdot 2^2 = 2 a_2$。

$12 = 2 a_2$ より、$a_2 = 6$。

$n=2$ のとき、$3 (a_1^2 + a_2^2) = 2 a_2 a_3$ より、$3 (2^2 + 6^2) = 2 \cdot 6 \cdot a_3$。

$3 (4 + 36) = 12 a_3$ より、$3 \cdot 40 = 12 a_3$。

$120 = 12 a_3$ より、$a_3 = 10$。

$n=3$ のとき、$3 (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2) = 3 a_3 a_4$ より、$3 (2^2 + 6^2 + 10^2) = 3 \cdot 10 \cdot a_4$。

$3 (4 + 36 + 100) = 30 a_4$ より、$3 \cdot 140 = 30 a_4$。

$420 = 30 a_4$ より、$a_4 = 14$。

(2)

$a_1 = 2$, $a_2 = 6$, $a_3 = 10$, $a_4 = 14$ より、$a_n = 4n - 2$ と推測できる。

数学的帰納法で証明する。

(i) $n=1$ のとき、$a_1 = 4(1) - 2 = 2$ であり成立する。

(ii) $n=k$ のとき、$a_k = 4k - 2$ が成立すると仮定する。

$n=k+1$ のとき、$3(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_k^2) = k a_k a_{k+1}$。

$3(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_k^2 + a_{k+1}^2) = (k+1) a_{k+1} a_{k+2}$。

辺々引くと、$3 a_{k+1}^2 = (k+1) a_{k+1} a_{k+2} - k a_k a_{k+1}$。

$3 a_{k+1}^2 = a_{k+1} ((k+1) a_{k+2} - k a_k)$。

$3 a_{k+1} = (k+1) a_{k+2} - k a_k$。

$a_{k+2} = \frac{3 a_{k+1} + k a_k}{k+1} = \frac{3 (4(k+1)-2) + k (4k-2)}{k+1}$。

$a_{k+2} = \frac{12k + 12 - 6 + 4k^2 - 2k}{k+1} = \frac{4k^2 + 10k + 6}{k+1} = \frac{2(2k^2 + 5k + 3)}{k+1} = \frac{2(2k+3)(k+1)}{k+1} = 2(2k+3) = 4k + 6 = 4(k+2) - 2 = 4(k+1) + 4 - 2 = 4(k+1) + 2$

$3\sum_{i=1}^n a_i^2 = n a_n a_{n+1}$ より、$3\sum_{i=1}^n a_i^2 = n (4n-2)(4n+2) = n(16n^2 - 4)$

また、$3\sum_{i=1}^{n+1} a_i^2 = (n+1)a_{n+1}a_{n+2} = (n+1)(4n+2)(4n+6)=(n+1)(16n^2+32n+12)$

よって、$a_{n+1}^2 = \frac{1}{3}[(n+1)(16n^2+32n+12)-n(16n^2-4)] = \frac{1}{3} [16n^3+32n^2+12n+16n^2+32n+12 - 16n^3+4n] = \frac{1}{3}[16n^2+48n+12] = \frac{4}{3}[4n^2+12n+3]$

$(4n-2)^2 = 16n^2-16n+4 \neq \frac{4}{3}(4n^2+12n+3) = \frac{16}{3}n^2+16n+4$

推測が誤りである。

漸化式より、$3a_n^2 = na_na_{n+1} - (n-1)a_{n-1}a_n$。

$3a_n = na_{n+1} - (n-1) a_{n-1}$。

$a_{n+1} = \frac{3a_n + (n-1)a_{n-1}}{n}$。

$a_1 = 2, a_2 = 6, a_3 = \frac{3(6) + (2-1)(2)}{2} = \frac{18 + 2}{2} = 10, a_4 = \frac{3(10)+(3-1)(6)}{3} = \frac{30 + 12}{3} = 14$

$a_5 = \frac{3(14) + (4-1)(10)}{4} = \frac{42 + 30}{4} = \frac{72}{4} = 18$

$a_n = 4n-2$ であると予測する。

仮定 $a_k = 4k-2, a_{k-1} = 4(k-1)-2 = 4k-6$ が正しいと仮定する。

$a_{k+1} = \frac{3(4k-2) + (k-1)(4k-6)}{k} = \frac{12k - 6 + 4k^2 - 10k + 6}{k} = \frac{4k^2+2k}{k} = 4k + 2 \neq 4(k+1)-2$

$a_n = 4n-2$ではない.

正解は $a_n = 2n(n+1)/3 + c_1 n + c_2$の形の多項式.

$a_1 = 2$, $a_2 = 6$, $a_3 = 10$, $a_4 = 14$.

$a_n=2, 6, 10, 14, ...$

$a_n = 4n-2$なので、推測は正しいです。帰納法で証明します。

n=1のとき、$3a_1^2=a_1a_2$、$3(2^2)=2a_2$、$12=2a_2$, $a_2=6$

n=2のとき、$3(a_1^2+a_2^2) = 2a_2a_3$、$3(4+36) = 12a_3$, $120 = 12a_3$, $a_3=10$

n=3のとき、$3(a_1^2+a_2^2+a_3^2) = 3a_3a_4$, $3(4+36+100)=3(10a_4)$, $420=30a_4$, $a_4=14$

(3)

$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{(4k-2)(4(k+1)-2)} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{(4k-2)(4k+2)} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2(2k-1) \cdot 2(2k+1)} = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^n \frac{1}{2} (\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}) = \frac{1}{8} \sum_{k=1}^n (\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}) = \frac{1}{8} [ (1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \dots + (\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}) ] = \frac{1}{8} (1 - \frac{1}{2n+1}) = \frac{1}{8} \frac{2n}{2n+1} = \frac{n}{4(2n+1)}$

3. 最終的な答え

(1) $a_2 = 6$, $a_3 = 10$, $a_4 = 14$

(2) $a_n = 4n-2$

(3) $S_n = \frac{n}{4(2n+1)}$