A, B, C, Dの4人がじゃんけんを1回行う。(1) 4人が出すじゃんけんの手の組合せは何通りあるか。(2) Aだけが勝つ確率を求めよ。(3) AとBが勝ちCとDが負ける確率を求めよ。(4) 誰も勝たないで、あいこになる確率を求めよ。

1. 問題の内容

A, B, C, Dの4人がじゃんけんを1回行う。(1) 4人が出すじゃんけんの手の組合せは何通りあるか。(2) Aだけが勝つ確率を求めよ。(3) AとBが勝ちCとDが負ける確率を求めよ。(4) 誰も勝たないで、あいこになる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 4人が出すじゃんけんの手の組合せ

各人がグー、チョキ、パーの3通りの手を出すので、

$3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 = 81$通り

(2) Aだけが勝つ確率

Aが勝つためには、Aの手を決めた後、他の3人がAに負ける手を出す必要があります。

Aがグーの場合、B,C,Dはチョキを出す。

Aがチョキの場合、B,C,Dはパーを出す。

Aがパーの場合、B,C,Dはグーを出す。

したがって、Aだけが勝つ手の出し方は3通り。

確率は $\frac{3}{81} = \frac{1}{27}$

(3) AとBが勝ちCとDが負ける確率

AとBが出す手を決めたとき、CとDはAとBに負ける手を出す必要があります。

AとBがグーの場合、CとDはチョキを出す。

AとBがチョキの場合、CとDはパーを出す。

AとBがパーの場合、CとDはグーを出す。

AとBが同じ手を出すのは3通り。AとBの出し方は、ABの順で考えれば $3\times 3=9$ 通りあるので、

AとBが異なる手を出すのは、全部で9通り - AとBが同じ手を出す3通り = 6通り。しかしAとBが異なる手を出すと、必ず勝つものと負けるものが出るので、勝つのがAとBの2人だけとなることはない。

したがって、AとBが同じ手を出し、CとDがその手に負ける手を出すパターンは3通り。

確率は $\frac{3}{81} = \frac{1}{27}$

(4) 誰も勝たないで、あいこになる確率

あいこになるのは、全員が同じ手を出す場合と、3種類の手が出ている場合です。

全員が同じ手を出す場合：3通り（全員グー、全員チョキ、全員パー）

3種類の手が出ている場合：

4人の中からどの手をださない人を選ぶか：4通り

残りの3人がグーチョキパーを出す組み合わせ：2通り

（例：A,B,Cがグーチョキパーを出す場合と、A,B,Cがグーパチョキを出す場合）

よって、3種類の手が出るのは $4\times 2 = 8$通り

2種類の手が出ている場合：

グーとチョキ: A,B,C,Dの誰がグーを出すか。グーを出す人が一人、二人、三人といる。

グー１人:4通り

グー２人:6通り

グー３人:4通り

$4+6+4 = 14$

グーとパー、チョキとパーも同様なので、あいこになるのは

$14\times 3 = 42$

4人が出す手が3種類の場合：

例えばグー、チョキ、パーの3種類が出ている場合を考える。1人が2回、残りの3人が1回ずつ手を出す必要があります。誰が2回手を出すかを選ぶのは4通り。

2回手を出す人がグー、チョキ、パーのどれを出すかを選ぶのは3通り。

残りの3人が出す手を決めるのは2通り。

(例：A:グーグー, B:チョキ, C:パー, D:グー)

手が３種類になるのは

$4\times 3\times 2 = 24通り

(ただし、ここでは「1人が2回、残りの3人が1回ずつ」という手が全て出ている場合のみを考えている。したがって、全員違う手を出してあいこになるケースは含まれていない。)

誰も勝たないためには、全員が同じ手を出すか、3種類の手が出る必要があります。

4人の手が3種類になるのは

(i) 1人が2回手を出すケース：$4C1 * 3C2 * 3! / 3! = 4 * 3 * 2 = 24$ 通り

(ii) 2人がそれぞれ2種類の手を出すケース： $4C2 * 3C2 * 3! / 2! / 2! = 6 * 3 = 18$ 通り

したがって、あいこになる手の出し方は $36$通り

$3+36 = 40$通り

誰も勝たない確率 = $\frac{6}{9} * \frac{20}{27}= \frac{60}{81} =\frac{20}{27}$

誰も勝たないで、あいこになる確率 $\frac{6}{27}$

3. 最終的な答え

(1) 81通り

(2) $\frac{1}{27}$

(3) $\frac{1}{27}$

(4) $\frac{20}{27}$