A, B, C, Dの4人がじゃんけんを1回行う。 (1) 4人が出すじゃんけんの手の組み合わせは何通りあるか。 (2) Aだけが勝つ確率を求めよ。 (3) AとBが勝ちCとDが負ける確率を求めよ。 (4) 誰も勝たないで、あいこになる確率を求めよ。

1. 問題の内容

A, B, C, Dの4人がじゃんけんを1回行う。

(1) 4人が出すじゃんけんの手の組み合わせは何通りあるか。

(2) Aだけが勝つ確率を求めよ。

(3) AとBが勝ちCとDが負ける確率を求めよ。

(4) 誰も勝たないで、あいこになる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 4人がそれぞれグー、チョキ、パーのいずれかを出すので、

それぞれ3通りの出し方がある。したがって、

$3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 = 81$ 通り

(2) Aだけが勝つ場合、Aがグーのとき、B, C, Dはチョキ。

Aがチョキのとき、B, C, Dはパー。

Aがパーのとき、B, C, Dはグー。

したがって、3通り。

確率は $3/81 = 1/27$。

(3) AとBが勝ち、CとDが負ける場合、

AとBがグーでCとDがチョキ。

AとBがチョキでCとDがパー。

AとBがパーでCとDがグー。

また、AとBの出し方は同じなので、1通り。

したがって、3通り。

確率は $3/81 = 1/27$。

(4) あいこになるのは、全員が同じ手を出す場合と、3種類の手が出ている場合。

全員が同じ手を出す場合: グー、チョキ、パーの3通り。

3種類の手が出る場合:

4人の中から1人をえらび、その人にだけ別の手をださせる。

この手の出し方は、

$C(4, 1) \times 3 \times 2 = 4 \times 6 = 24$通り。3人同じ手、1人違う手。

（4人から一人異なる人を選ぶ場合の数は$_4C_1 = 4$通り。異なる人は3種類の手のうち2種類を選べる。その手の出し方は2通り。残りの3人は同じ手を出すので1通り）

4人の中から2人をえらび、2人が同じ手で残りの2人が違う手をださせる。

この手の出し方は、$C(4, 2) \times 3 \times 2 = 6 \times 6 = 36$通り。2人同じ手、2人違う手。

（4人から2人同じ人をえらぶ。$_4C_2 = 6$通り。同じ手の出し方は3通り。残りの2人の手の出し方は2通り）

3種類の手が出ているのは上記のみ

したがってあいこになる場合の数は$3 + 0 = 3 + 24 +0= 3+6=3+36$。

あいこになる確率は、$3/81 = 1/27$。

$1 -$（誰かが勝つ確率）を計算する。

誰かが勝つ場合は、1人だけが勝つ場合、2人だけが勝つ場合、3人だけが勝つ場合がある。

1人だけが勝つ場合、3通り。確率は$3/81$。

2人だけが勝つ場合。3通り。確率は$3/81$。

3人だけが勝つ場合。3通り。確率は$3/81$。

$1 - (3+3+3)/81 = 1 - 9/81 = 72/81 = 8/9$

したがってあいこになる確率は $8/9$.

全員の手が異なる場合はない。

2種類の手の場合。$A,B,C,D$

-全員がおなじ場合。3通り

-３人同じ１人違う場合。４人から違う1人を選ぶ。4通り　３種類の手。$4*3*2$

-2人同じ場合　2人同じ　$_4C_2$

あいこ＝３種類の手の出し方

あいこになる確率は$60/81 = 20/27$

3. 最終的な答え

(1) 81通り

(2) 1/27

(3) 1/27

(4) 20/27