$\cos \theta = \frac{1}{6}$ のとき、$\tan \theta$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ は鋭角とする。

1. 問題の内容

$\cos \theta = \frac{1}{6}$ のとき、$\tan \theta$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ は鋭角とする。

2. 解き方の手順

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用して $\sin \theta$ を求める。

$\theta$ が鋭角なので、$\sin \theta > 0$ である。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用して $\tan \theta$ を求める。

まず、$\sin^2 \theta$ を求める。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$

$\cos \theta = \frac{1}{6}$ を代入すると、

$\sin^2 \theta = 1 - (\frac{1}{6})^2$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{36}$

$\sin^2 \theta = \frac{36}{36} - \frac{1}{36}$

$\sin^2 \theta = \frac{35}{36}$

$\sin \theta$ を求める。$\theta$ は鋭角なので $\sin \theta > 0$ である。

$\sin \theta = \sqrt{\frac{35}{36}}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{35}}{6}$

$\tan \theta$ を求める。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

$\tan \theta = \frac{\frac{\sqrt{35}}{6}}{\frac{1}{6}}$

$\tan \theta = \frac{\sqrt{35}}{6} \times \frac{6}{1}$

$\tan \theta = \sqrt{35}$

3. 最終的な答え

$\tan \theta = \sqrt{35}$