$\sin{\theta} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$\tan{\theta}$ の値を求めなさい。ただし、$\theta$ は鋭角とします。

1. 問題の内容

$\sin{\theta} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$\tan{\theta}$ の値を求めなさい。ただし、$\theta$ は鋭角とします。

2. 解き方の手順

$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ という三角関数の基本的な関係式を利用します。

$\sin{\theta} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ をこの式に代入して、$\cos{\theta}$ を求めます。

$(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + \cos^2{\theta} = 1$

$\frac{3}{4} + \cos^2{\theta} = 1$

$\cos^2{\theta} = 1 - \frac{3}{4}$

$\cos^2{\theta} = \frac{1}{4}$

$\cos{\theta} = \pm \frac{1}{2}$

$\theta$ は鋭角なので、$\cos{\theta} > 0$ となります。したがって、$\cos{\theta} = \frac{1}{2}$ です。

次に、$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$ という関係式を利用して、$\tan{\theta}$ を求めます。

$\tan{\theta} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}$

$\tan{\theta} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{1}$

$\tan{\theta} = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\tan{\theta} = \sqrt{3}$