$\sin \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos \theta$ の値を求めなさい。ただし、$\theta$ は鋭角とする。

1. 問題の内容

$\sin \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos \theta$ の値を求めなさい。ただし、$\theta$ は鋭角とする。

2. 解き方の手順

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ という三角関数の基本的な恒等式を利用します。

まず、与えられた $\sin \theta = \frac{1}{3}$ をこの恒等式に代入します。

$(\frac{1}{3})^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{1}{9} + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{9}$

$\cos^2 \theta = \frac{8}{9}$

次に、$\cos \theta$ を求めます。$\cos \theta$ は正または負の値を取りえますが、問題文で $\theta$ は鋭角と指定されているので、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ となり、この範囲では $\cos \theta > 0$ であるため、正の平方根のみを考慮します。

$\cos \theta = \sqrt{\frac{8}{9}}$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{8}}{3}$

$\cos \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$