$\cos \theta = \frac{5}{6}$ のとき、$\tan \theta$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ は鋭角とする。

1. 問題の内容

$\cos \theta = \frac{5}{6}$ のとき、$\tan \theta$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ は鋭角とする。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本的な関係式である $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用して $\sin \theta$ の値を求めます。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に $\cos \theta = \frac{5}{6}$ を代入すると、

$\sin^2 \theta + \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{25}{36} = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{25}{36}$

$\sin^2 \theta = \frac{36}{36} - \frac{25}{36}$

$\sin^2 \theta = \frac{11}{36}$

$\theta$ が鋭角であることから $\sin \theta > 0$ であるため、

$\sin \theta = \sqrt{\frac{11}{36}} = \frac{\sqrt{11}}{6}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用して $\tan \theta$ の値を求めます。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{\sqrt{11}}{6}}{\frac{5}{6}} = \frac{\sqrt{11}}{6} \cdot \frac{6}{5} = \frac{\sqrt{11}}{5}$

3. 最終的な答え

$\tan \theta = \frac{\sqrt{11}}{5}$