$\tan \theta = 2\sqrt{2}$ のとき、$\cos \theta$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ は鋭角とする。

1. 問題の内容

$\tan \theta = 2\sqrt{2}$ のとき、$\cos \theta$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ は鋭角とする。

2. 解き方の手順

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であり、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ という関係式を利用する。

まず、$\tan^2 \theta + 1 = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + 1 = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ という関係式を使う。

$\tan \theta = 2\sqrt{2}$ なので、$\tan^2 \theta = (2\sqrt{2})^2 = 4 \times 2 = 8$。

したがって、$\tan^2 \theta + 1 = 8 + 1 = 9$。

$\frac{1}{\cos^2 \theta} = 9$ より、$\cos^2 \theta = \frac{1}{9}$。

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{1}{9}} = \pm \frac{1}{3}$。

$\theta$ は鋭角なので、$\cos \theta > 0$。

したがって、$\cos \theta = \frac{1}{3}$。

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{1}{3}$