2次方程式 $x^2 - 3x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の値を求めよ。 (1) $\alpha^2 + \beta^2$ (2) $\alpha^3 + \beta^3$ (3) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 3x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の値を求めよ。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$

(2) $\alpha^3 + \beta^3$

(3) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 3$

$\alpha \beta = 4$

である。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$ を求める。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

であるから、$\alpha + \beta = 3$, $\alpha\beta = 4$ を代入して

$\alpha^2 + \beta^2 = 3^2 - 2 \cdot 4 = 9 - 8 = 1$

(2) $\alpha^3 + \beta^3$ を求める。

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2)$

$= (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta)$

であるから、$\alpha + \beta = 3$, $\alpha\beta = 4$ を代入して

$\alpha^3 + \beta^3 = 3(3^2 - 3 \cdot 4) = 3(9 - 12) = 3 \cdot (-3) = -9$

(3) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$ を求める。

$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta^2 + \alpha^2}{\alpha\beta} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta}$

であるから、(1) の結果 $\alpha^2 + \beta^2 = 1$ と $\alpha\beta = 4$ を代入して

$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = 1$

(2) $\alpha^3 + \beta^3 = -9$

(3) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{1}{4}$