複素数 $z = -1 + \sqrt{3}i$ を極形式で表す問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z = -1 + \sqrt{3}i$ を極形式で表す問題です。

2. 解き方の手順

複素数 $z = x + yi$ を極形式 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で表すには、まず絶対値 $r = |z|$ と偏角 $\theta$ を求める必要があります。

絶対値 $r$ は、

$r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$

で求められます。今回の問題では $x = -1$ と $y = \sqrt{3}$ なので、

$r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

偏角 $\theta$ は、

$\cos\theta = \frac{x}{r}$ および $\sin\theta = \frac{y}{r}$

を満たすように決定します。今回の問題では、

$\cos\theta = \frac{-1}{2}$ および $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

を満たす $\theta$ を探します。これを満たす $\theta$ の一つは $\theta = \frac{2\pi}{3}$ です。

したがって、複素数 $z$ の極形式は

$z = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$

と表されます。

3. 最終的な答え

$2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$