等差数列において、第8項が47であり、初項から第8項までの和が180であるとき、初項と公差を求めよ。

1. 問題の内容

等差数列において、第8項が47であり、初項から第8項までの和が180であるとき、初項と公差を求めよ。

2. 解き方の手順

等差数列の一般項を $a_n$、初項を $a$、公差を $d$ とすると、以下の式が成り立つ。

* 第n項の公式: $a_n = a + (n-1)d$

* 初項から第n項までの和の公式: $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$

問題文より、第8項が47なので、

$a_8 = a + 7d = 47$ ...(1)

また、初項から第8項までの和が180なので、

$S_8 = \frac{8}{2}(2a + 7d) = 180$

$4(2a + 7d) = 180$

$2a + 7d = 45$ ...(2)

(1)と(2)の連立方程式を解く。

(1)より、$a = 47 - 7d$ ...(3)

(3)を(2)に代入する。

$2(47 - 7d) + 7d = 45$

$94 - 14d + 7d = 45$

$-7d = 45 - 94$

$-7d = -49$

$d = 7$

$d = 7$ を(3)に代入する。

$a = 47 - 7(7)$

$a = 47 - 49$

$a = -2$

したがって、初項は-2、公差は7となる。

3. 最終的な答え

初項: -2

公差: 7