$\tan \theta = -2\sqrt{2}$ のとき、$\sin \theta$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ は鈍角とする。

1. 問題の内容

$\tan \theta = -2\sqrt{2}$ のとき、$\sin \theta$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ は鈍角とする。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の恒等式 $1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ を利用して $\cos \theta$ の値を求めます。

$1 + \tan^2 \theta = 1 + (-2\sqrt{2})^2 = 1 + 8 = 9$

$\frac{1}{\cos^2 \theta} = 9$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{9}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{3}$

$\theta$ は鈍角なので、$90^{\circ} < \theta < 180^{\circ}$ です。したがって、$\cos \theta < 0$ となるので、$\cos \theta = -\frac{1}{3}$ です。

次に、三角関数の恒等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用して $\sin \theta$ の値を求めます。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$\sin^2 \theta + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{1}{9} = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\theta$ は鈍角なので、$90^{\circ} < \theta < 180^{\circ}$ です。したがって、$\sin \theta > 0$ となるので、$\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ です。

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$