三角形ABCにおいて、辺の長さが $a=5$, $b=6$, $c=7$ であるとき、角A, B, Cがそれぞれ鋭角、直角、鈍角のいずれであるかを判定する。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺の長さが $a=5$, $b=6$, $c=7$ であるとき、角A, B, Cがそれぞれ鋭角、直角、鈍角のいずれであるかを判定する。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて、各角の余弦を計算し、その符号によって角の種類を判定する。

(1) 角Aについて：

余弦定理より、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

よって、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$\cos A = \frac{6^2 + 7^2 - 5^2}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{36 + 49 - 25}{84} = \frac{60}{84} = \frac{5}{7} > 0$

$\cos A > 0$ であるので、Aは鋭角である。

(2) 角Bについて：

余弦定理より、

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

よって、

$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

$\cos B = \frac{5^2 + 7^2 - 6^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{25 + 49 - 36}{70} = \frac{38}{70} = \frac{19}{35} > 0$

$\cos B > 0$ であるので、Bは鋭角である。

(3) 角Cについて：

余弦定理より、

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

よって、

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

$\cos C = \frac{5^2 + 6^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{25 + 36 - 49}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5} > 0$

$\cos C > 0$ であるので、Cは鋭角である。

3. 最終的な答え

A：鋭角

B：鋭角

C：鋭角