$\tan \theta = -\sqrt{3}$ のとき、$\sin \theta$ の値を求めよ。ただし、$\theta$は鈍角とする。

1. 問題の内容

$\tan \theta = -\sqrt{3}$ のとき、$\sin \theta$ の値を求めよ。ただし、$\theta$は鈍角とする。

2. 解き方の手順

まず、$\tan \theta$ の定義から、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であることを思い出します。

与えられた条件から、$\tan \theta = -\sqrt{3}$ ですから、

$$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\sqrt{3}$$

$\theta$が鈍角であることから、$90^\circ < \theta < 180^\circ$ であることがわかります。この範囲では、$\sin \theta > 0$ であり、$\cos \theta < 0$ です。$\tan \theta$ が負であることから、$\sin \theta$ は正、$\cos \theta$ は負であることに矛盾はありません。

三角関数の恒等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用します。

$\cos \theta = \frac{\sin \theta}{-\sqrt{3}}$ を代入すると、

$$\sin^2 \theta + \left( \frac{\sin \theta}{-\sqrt{3}} \right)^2 = 1$$

$$\sin^2 \theta + \frac{\sin^2 \theta}{3} = 1$$

$$3\sin^2 \theta + \sin^2 \theta = 3$$

$$4\sin^2 \theta = 3$$

$$\sin^2 \theta = \frac{3}{4}$$

$\sin \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\theta$は鈍角なので、$\sin \theta > 0$ であるから、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$