$\tan \theta = -2\sqrt{6}$ のとき、$\sin \theta$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ は鈍角である。

1. 問題の内容

$\tan \theta = -2\sqrt{6}$ のとき、$\sin \theta$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ は鈍角である。

2. 解き方の手順

まず、$\tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ の関係を用いる。

$\tan \theta = -2\sqrt{6}$ を代入すると、

$(-2\sqrt{6})^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$24 + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$25 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{25}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{5}$

$\theta$ は鈍角なので、$90^\circ < \theta < 180^\circ$ である。

この範囲では $\cos \theta < 0$ であるから、

$\cos \theta = -\frac{1}{5}$

次に、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ の関係を用いる。

$\sin^2 \theta + (-\frac{1}{5})^2 = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{1}{25} = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{25}$

$\sin^2 \theta = \frac{24}{25}$

$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{24}{25}} = \pm \frac{\sqrt{24}}{5} = \pm \frac{2\sqrt{6}}{5}$

$\theta$ は鈍角なので、$90^\circ < \theta < 180^\circ$ である。

この範囲では $\sin \theta > 0$ であるから、

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{6}}{5}$