$\cos{\theta} = -\frac{2}{5}$ のとき、$\sin{\theta}$ の値を求めよ。ただし、$\theta$は鈍角とする。

1. 問題の内容

$\cos{\theta} = -\frac{2}{5}$ のとき、$\sin{\theta}$ の値を求めよ。ただし、$\theta$は鈍角とする。

2. 解き方の手順

三角比の相互関係の公式 $\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ を利用する。

まず、与えられた$\cos{\theta} = -\frac{2}{5}$ をこの公式に代入して、$\sin^2{\theta}$ の値を求める。

$\sin^2{\theta} + \left(-\frac{2}{5}\right)^2 = 1$

$\sin^2{\theta} + \frac{4}{25} = 1$

$\sin^2{\theta} = 1 - \frac{4}{25}$

$\sin^2{\theta} = \frac{25}{25} - \frac{4}{25}$

$\sin^2{\theta} = \frac{21}{25}$

次に、$\sin{\theta}$ の値を求めるために、両辺の平方根を取る。

$\sin{\theta} = \pm \sqrt{\frac{21}{25}}$

$\sin{\theta} = \pm \frac{\sqrt{21}}{5}$

$\theta$ は鈍角なので、 $90^\circ < \theta < 180^\circ$ であり、この範囲では $\sin{\theta} > 0$ である。

したがって、$\sin{\theta} = \frac{\sqrt{21}}{5}$ である。

3. 最終的な答え

$\sin{\theta} = \frac{\sqrt{21}}{5}$