$\cos \theta = -\frac{5}{6}$ のとき、$\tan \theta$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ は鈍角とする。

1. 問題の内容

$\cos \theta = -\frac{5}{6}$ のとき、$\tan \theta$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ は鈍角とする。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係の式を利用して$\sin \theta$ を求めます。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$

$\sin^2 \theta = 1 - (-\frac{5}{6})^2$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{25}{36}$

$\sin^2 \theta = \frac{36}{36} - \frac{25}{36}$

$\sin^2 \theta = \frac{11}{36}$

$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{11}{36}}$

$\sin \theta = \pm \frac{\sqrt{11}}{6}$

$\theta$ は鈍角なので、$90^\circ < \theta < 180^\circ$ となり、この範囲では $\sin \theta > 0$ です。

したがって、$\sin \theta = \frac{\sqrt{11}}{6}$ となります。

次に、$\tan \theta$ を求めます。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

$\tan \theta = \frac{\frac{\sqrt{11}}{6}}{-\frac{5}{6}}$

$\tan \theta = \frac{\sqrt{11}}{6} \cdot (-\frac{6}{5})$

$\tan \theta = -\frac{\sqrt{11}}{5}$

3. 最終的な答え

$\tan \theta = -\frac{\sqrt{11}}{5}$