問題は以下の2つです。 (1) $12^{22}$ は何桁の整数か。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$, $log_{10}3 = 0.4771$ とする。 (2) $(\frac{3}{8})^{30}$ は小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$, $log_{10}3 = 0.4771$ とする。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

(1) $12^{22}$ は何桁の整数か。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$, $log_{10}3 = 0.4771$ とする。

(2) $(\frac{3}{8})^{30}$ は小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$, $log_{10}3 = 0.4771$ とする。

2. 解き方の手順

(1) $12^{22}$ の桁数を求める。

$X = 12^{22}$ とおくと、$log_{10}X = log_{10}12^{22} = 22log_{10}12 = 22log_{10}(2^2 \times 3) = 22(log_{10}2^2 + log_{10}3) = 22(2log_{10}2 + log_{10}3) = 22(2 \times 0.3010 + 0.4771) = 22(0.6020 + 0.4771) = 22 \times 1.0791 = 23.7402$

$log_{10}X = 23.7402$ なので、$X = 10^{23.7402}$ となる。

$10^{23} < X < 10^{24}$ なので、$X$ は24桁の整数である。

(2) $(\frac{3}{8})^{30}$ が小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める。

$Y = (\frac{3}{8})^{30}$ とおくと、$log_{10}Y = log_{10}(\frac{3}{8})^{30} = 30log_{10}(\frac{3}{8}) = 30(log_{10}3 - log_{10}8) = 30(log_{10}3 - log_{10}2^3) = 30(log_{10}3 - 3log_{10}2) = 30(0.4771 - 3 \times 0.3010) = 30(0.4771 - 0.9030) = 30(-0.4259) = -12.777$

$log_{10}Y = -12.777$ なので、$Y = 10^{-12.777}$ となる。

$Y = 10^{-13 + 0.223} = 10^{-13} \times 10^{0.223}$

$-13 < log_{10}Y < -12$ より、$(\frac{3}{8})^{30}$ は小数第13位に初めて0でない数字が現れる。

3. 最終的な答え

(1) 24桁

(2) 小数第13位