縦、横、高さが $a, b, c$ の直方体があり、各面を赤、青、黄、緑、白、黒の6色すべてを用いて塗る方法を考える。 (1) $a = b = c$ (立方体) の場合 (2) $a = b \neq c$ の場合 それぞれの塗り方の総数を求める。

1. 問題の内容

縦、横、高さが $a, b, c$ の直方体があり、各面を赤、青、黄、緑、白、黒の6色すべてを用いて塗る方法を考える。

(1) $a = b = c$ (立方体) の場合

(2) $a = b \neq c$ の場合

それぞれの塗り方の総数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 立方体の場合

立方体の各面を6色で塗る塗り方は、1つの面を固定して考える。

まず、底面の色を固定する（6通り）。

次に、上面の色を決定する（5通り）。

残りの4側面は円順列なので、$(4-1)! = 3! = 6$ 通り。

よって、塗り方の総数は $6 \times 5 \times 6 = 30 \times 6 = 180 /6 = 30$通り。

$5! = 120$ と考えた方がわかりやすいかもしれない。

上面を決めた後、残りの4つの側面を塗る方法は、$4! / 4 = 6$ 通り。

ゆえに、 $6 \times 5 \times 6 = 30$ 通り。

(2) $a=b \neq c$ の場合

$a=b$である正方形の面を上面と下面とすると、この2面の塗り方は $6 \times 5 = 30$ 通り。

残りの4面は長方形であり、同じ大きさである。したがって、残りの4色を円順列で並べることを考える。

$(4-1)! = 3! = 6$ 通り。

しかし、長方形の面は裏返すことができるので、回転して同じになるものを2で割る。

したがって、塗り方は $6/2 = 3$ 通り。

したがって、塗り方の総数は、$30 \times 3 = 90$ 通り。

4つの側面を塗る順列は　$4! = 24$通り。

しかし、回転して同じになるものは4つあるので、$24/4=6$通り。

また、裏返して同じになるものもあるので、$6/2=3$通り。

したがって、塗り方は$30 \times 6=30$通り。

3. 最終的な答え

(1) 30通り

(2) 30通り

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（１）３０通り

（２）３０通り

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