全体集合$U$、部分集合$A$、$B$が与えられたとき、$\overline{A} \cap B$と$A \cup \overline{B}$を求めよ。 ただし、$U = \{x | x \text{は12より小さい自然数}\}$、$A = \{4, 5, 6, 7, 8\}$、$B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$である。

1. 問題の内容

全体集合$U$、部分集合$A$、$B$が与えられたとき、$\overline{A} \cap B$と$A \cup \overline{B}$を求めよ。

ただし、$U = \{x | x \text{は12より小さい自然数}\}$、$A = \{4, 5, 6, 7, 8\}$、$B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$である。

2. 解き方の手順

まず、全体集合$U$を書き出す。$U$は12より小さい自然数なので、

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$

次に、$A$の補集合$\overline{A}$を求める。$\overline{A}$は$U$の中で$A$に含まれない要素の集合なので、

$\overline{A} = \{1, 2, 3, 9, 10, 11\}$

次に、$\overline{A} \cap B$を求める。これは$\overline{A}$と$B$の両方に含まれる要素の集合なので、

$\overline{A} \cap B = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cap \{1, 2, 3, 9, 10, 11\} = \{1, 3, 9\}$

次に、$B$の補集合$\overline{B}$を求める。$\overline{B}$は$U$の中で$B$に含まれない要素の集合なので、

$\overline{B} = \{2, 4, 6, 8, 10, 11\}$

最後に、$A \cup \overline{B}$を求める。これは$A$と$\overline{B}$のどちらか一方、または両方に含まれる要素の集合なので、

$A \cup \overline{B} = \{4, 5, 6, 7, 8\} \cup \{2, 4, 6, 8, 10, 11\} = \{2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11\}$

3. 最終的な答え

$\overline{A} \cap B = \{1, 3, 9\}$

$A \cup \overline{B} = \{2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11\}$