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$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$ のとき、 $(\tan \alpha + 1)(\tan \beta + 1)$ の値を求める。

その他三角関数加法定理tan角度
2025/6/5

1. 問題の内容

α+β=π4\alpha + \beta = \frac{\pi}{4} のとき、 (tan⁡α+1)(tan⁡β+1)(\tan \alpha + 1)(\tan \beta + 1) の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、 tan⁡(α+β)\tan(\alpha + \beta) を加法定理で展開します。
tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}
問題文より、 α+β=π4\alpha + \beta = \frac{\pi}{4} なので、 tan⁡(α+β)=tan⁡(π4)=1\tan(\alpha + \beta) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1
よって、
tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β=1\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = 1
分母を払うと、
tan⁡α+tan⁡β=1−tan⁡αtan⁡β\tan \alpha + \tan \beta = 1 - \tan \alpha \tan \beta
tan⁡α+tan⁡β+tan⁡αtan⁡β=1\tan \alpha + \tan \beta + \tan \alpha \tan \beta = 1
次に、 (tan⁡α+1)(tan⁡β+1)(\tan \alpha + 1)(\tan \beta + 1) を展開します。
(tan⁡α+1)(tan⁡β+1)=tan⁡αtan⁡β+tan⁡α+tan⁡β+1(\tan \alpha + 1)(\tan \beta + 1) = \tan \alpha \tan \beta + \tan \alpha + \tan \beta + 1
ここで、先ほど求めた tan⁡α+tan⁡β+tan⁡αtan⁡β=1\tan \alpha + \tan \beta + \tan \alpha \tan \beta = 1 を代入すると、
(tan⁡α+1)(tan⁡β+1)=1+1=2(\tan \alpha + 1)(\tan \beta + 1) = 1 + 1 = 2

3. 最終的な答え

2

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