$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$ のとき、 $(\tan \alpha + 1)(\tan \beta + 1)$ の値を求める。

その他三角関数加法定理tan角度

2025/6/5

1. 問題の内容

\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}

のとき、

(\tan \alpha + 1)(\tan \beta + 1)

の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、

\tan(\alpha + \beta)

を加法定理で展開します。

\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}

問題文より、

\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}

なので、

\tan(\alpha + \beta) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1

よって、

\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = 1

分母を払うと、

\tan \alpha + \tan \beta = 1 - \tan \alpha \tan \beta

\tan \alpha + \tan \beta + \tan \alpha \tan \beta = 1

次に、

(\tan \alpha + 1)(\tan \beta + 1)

を展開します。

(\tan \alpha + 1)(\tan \beta + 1) = \tan \alpha \tan \beta + \tan \alpha + \tan \beta + 1

ここで、先ほど求めた

\tan \alpha + \tan \beta + \tan \alpha \tan \beta = 1

を代入すると、

(\tan \alpha + 1)(\tan \beta + 1) = 1 + 1 = 2

3. 最終的な答え

2

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