与えられた8つの命題の真偽を判定し、偽である場合は反例を示す。

1. 問題の内容

与えられた8つの命題の真偽を判定し、偽である場合は反例を示す。

2. 解き方の手順

(1) 奇数と奇数の和は偶数である。

奇数は $2n+1$ の形で表せる。二つの奇数の和は $(2n+1) + (2m+1) = 2n + 2m + 2 = 2(n+m+1)$ となり、これは偶数である。

したがって、命題は真である。

(2) 偶数と偶数の和は奇数である。

偶数は $2n$ の形で表せる。二つの偶数の和は $2n + 2m = 2(n+m)$ となり、これは偶数である。

反例：2 + 4 = 6（偶数）

したがって、命題は偽である。

(3) 正三角形は二等辺三角形である。

正三角形は3つの辺の長さが等しい。二等辺三角形は2つの辺の長さが等しい。正三角形は2つの辺の長さが等しいので二等辺三角形でもある。

したがって、命題は真である。

(4) 四角形ならば、長方形である。

四角形には長方形ではないもの（例：正方形でない平行四辺形や台形）が存在する。

反例：平行四辺形

したがって、命題は偽である。

(5) ひし形ならば平行四辺形である。

ひし形は向かい合う辺が平行で、かつ4辺の長さが等しい四角形である。向かい合う辺が平行である四角形は平行四辺形である。

したがって、命題は真である。

(6) 6角形の対角線の数は6本である。

n角形の対角線の数は $n(n-3)/2$ で求められる。

6角形の場合、$6(6-3)/2 = 6*3/2 = 9$ となり、9本である。

したがって、命題は偽である。

(7) $a \in A$ ならば $a \in A \cup B$ である。

$A \cup B$ はAまたはBに属する要素の集合である。$a$ が $A$ に属するならば、必ず $A \cup B$ に属する。

したがって、命題は真である。

(8) $x^2 = x$ ならば $x = 1$ である。

$x^2 = x$ を解くと、$x^2 - x = 0$ となり、$x(x-1) = 0$ 。よって、$x = 0$ または $x = 1$ となる。

反例：x = 0

したがって、命題は偽である。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 偽。反例：2 + 4 = 6

(3) 真

(4) 偽。反例：平行四辺形

(5) 真

(6) 偽。反例：6角形の対角線は9本

(7) 真

(8) 偽。反例：x = 0