1. $\cos 105^\circ$ の値を求める。

1. 問題の内容

1. $\cos 105^\circ$ の値を求める。

2. $\tan 165^\circ$ の値を求める。

3. $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, $\sin \alpha = \frac{4}{5}$, $\sin \beta = \frac{1}{5}$ のとき、$\sin(\alpha + \beta)$ の値を求める。

4. $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, $\sin \alpha = \frac{4}{5}$, $\sin \beta = \frac{1}{5}$ のとき、$\cos 2\alpha$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\cos 105^\circ$ の値を求める。

$105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$ であるから、加法定理 $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ を用いる。

$\cos 105^\circ = \cos (60^\circ + 45^\circ) = \cos 60^\circ \cos 45^\circ - \sin 60^\circ \sin 45^\circ$

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

(2) $\tan 165^\circ$ の値を求める。

$165^\circ = 120^\circ + 45^\circ$ であるから、加法定理 $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ を用いる。

$\tan 165^\circ = \tan (120^\circ + 45^\circ) = \frac{\tan 120^\circ + \tan 45^\circ}{1 - \tan 120^\circ \tan 45^\circ}$

$\tan 120^\circ = -\sqrt{3}$ であり、$\tan 45^\circ = 1$ であるから、

$\tan 165^\circ = \frac{-\sqrt{3} + 1}{1 - (-\sqrt{3}) \cdot 1} = \frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$

$= \frac{(1 - \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{1 - 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{-2} = -2 + \sqrt{3}$

(3) $\sin(\alpha + \beta)$ の値を求める。

加法定理 $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ を用いる。

$\sin \alpha = \frac{4}{5}$ より、$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

$\sin \beta = \frac{1}{5}$ より、$\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \frac{4}{5} \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} + \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{5}$

$= \frac{8\sqrt{6}}{25} + \frac{3}{25} = \frac{3 + 8\sqrt{6}}{25}$

(4) $\cos 2\alpha$ の値を求める。

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$ のいずれかの式を用いる。

$\sin \alpha = \frac{4}{5}$ より、$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha = 1 - 2 \cdot (\frac{4}{5})^2 = 1 - 2 \cdot \frac{16}{25} = 1 - \frac{32}{25} = \frac{25 - 32}{25} = -\frac{7}{25}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos 105^\circ = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

(2) $\tan 165^\circ = -2 + \sqrt{3}$

(3) $\sin(\alpha + \beta) = \frac{3 + 8\sqrt{6}}{25}$

(4) $\cos 2\alpha = -\frac{7}{25}$