複素数平面上に原点と異なる3点 $z_1, z_2, z_3$ があり、以下の条件を満たす。 (A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$ (B) 点 $z_3$ は2点 $z_1, z_2$ を通る直線に関して原点と反対側にある。 (C) $\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形。 (1) $\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$ とするとき、$ \alpha z_1 = pz_1 + qz_2, \ \alpha z_2 = rz_1 + sz_2$ となる実数 $p, q, r, s$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表す。 (2) $z_3 = az_1 + bz_2$ となる実数 $a, b$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表す。

1. 問題の内容

複素数平面上に原点と異なる3点 $z_1, z_2, z_3$ があり、以下の条件を満たす。

(A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$

(B) 点 $z_3$ は2点 $z_1, z_2$ を通る直線に関して原点と反対側にある。

(C) $\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形。

(1) $\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$ とするとき、$\alpha z_1 = pz_1 + qz_2, \ \alpha z_2 = rz_1 + sz_2$ となる実数 $p, q, r, s$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表す。

(2) $z_3 = az_1 + bz_2$ となる実数 $a, b$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ である。

条件(A)より、$\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$であるから、$z_1 = |z_1|e^{i(\arg z_2 + \frac{2}{3}\pi)}, z_2 = |z_2|e^{i \arg z_2}$と表せる。

$\alpha z_1 = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) z_1 = pz_1 + qz_2$より、$pz_1 + qz_2 - (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) z_1 = 0$。つまり、$(p - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i)z_1 + qz_2 = 0$

$p$と$q$は実数だから、$p - \frac{1}{2} = 0$と$\frac{\sqrt{3}}{2}z_1 + qz_2 = 0$となるはずだが、これらを満たす$p,q$は存在しないため、別の方針で解く必要がある。

$\alpha z_1 = \frac{1}{2} z_1 + i\frac{\sqrt{3}}{2} z_1 = pz_1 + qz_2$

$\alpha z_2 = \frac{1}{2} z_2 + i\frac{\sqrt{3}}{2} z_2 = rz_1 + sz_2$

$\alpha z_1 = p z_1 + q z_2$ より、$z_1$と$z_2$は一次独立であるため、$\frac{z_1}{z_2} = \frac{|z_1|}{|z_2|} e^{i\frac{2\pi}{3}}$

$\alpha = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、

$\alpha z_1 = p z_1 + q z_2$

$\alpha z_2 = r z_1 + s z_2$

とおける。

$p = \frac{1}{2}$, $q = \frac{\sqrt{3}|z_1|}{2|z_2|} e^{i(\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{3})}= \frac{\sqrt{3}|z_1|}{2|z_2|}e^{-i\frac{\pi}{6}}=\frac{\sqrt{3}|z_1|}{2|z_2|}(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i)$

これは$q$が実数という条件を満たさないので、計算が間違っている。

$z_1, z_2, z_3$ は正三角形の頂点であるから、$z_1 + \alpha z_1 + \alpha^2 z_1 = 0$が成立する。

条件(B)より、$z_3$は$z_1, z_2$を結ぶ直線に関して$0$と反対側にあるため、$z_3 = az_1 + bz_2 (a,b > 0)$である必要がある。

正三角形の条件を満たすには$|z_1-z_2|=|z_2-z_3|=|z_3-z_1|$が必要である。

(2) $\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形なので、$z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0$または $z_1 + \omega^2 z_2 + \omega z_3 = 0$ が成り立つ。ここで $\omega = e^{\pm i\frac{2\pi}{3}}$ である。

$z_3 = az_1 + bz_2$ を代入して、$z_1 + \omega z_2 + \omega^2 (az_1 + bz_2) = (1+\omega^2 a)z_1 + (\omega + \omega^2 b)z_2 = 0$ または $z_1 + \omega^2 z_2 + \omega (az_1 + bz_2) = (1+\omega a)z_1 + (\omega^2 + \omega b)z_2 = 0$ となる。

$z_1$と$z_2$は一次独立なので、$1+\omega^2 a = 0$かつ $\omega + \omega^2 b = 0$ または $1+\omega a = 0$かつ $\omega^2 + \omega b = 0$ となる必要がある。

$a = -\frac{1}{\omega^2} = -\omega$ と $b = -\frac{\omega}{\omega^2} = -\frac{1}{\omega} = -\omega^2$

または

$a = -\frac{1}{\omega}$ と $b = -\frac{\omega^2}{\omega} = -\omega$

$a,b$は実数でなければならないので、$\triangle z_1z_2z_3$は正三角形ではなく、$\triangle z_1 z_2 z_3$は二等辺三角形で、$\angle z_1z_2z_3 = \frac{\pi}{6}$である。

$|z_1-z_2|=|z_3-z_2|$という条件から、$a, b$を計算する。

3. 最終的な答え

解法が不明なため、現時点では答えを出すことができません。